[论文解读] A Universal Sequence of Tensors for the Asymptotic Rank Conjecture

Petteri Kaski, Mateusz Michałek|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2024

Tensor decomposition and applications被引用 2

一句话总结

本文构建了一个显式的通用零一律张量序列 $U_d$，其在 $F^d \otimes F^d \otimes F^d$ 中实现最坏情况下的张量指数 $\sigma(d) = \sup_{T \in F^d \otimes F^d \otimes F^d} \sigma(T)$，从而提供了渐近秩的原始表征。此外，引入了局部化和对角化变体以捕捉渐近秩猜想，并通过显式张量序列证明了极限 $\lim_{d\to\infty} \sigma(d)$ 的存在性。

ABSTRACT

The exponent $σ(T)$ of a tensor $T\in\mathbb{F}^d\otimes\mathbb{F}^d\otimes\mathbb{F}^d$ over a field $\mathbb{F}$ captures the base of the exponential growth rate of the tensor rank of $T$ under Kronecker powers. Tensor exponents are fundamental from the standpoint of algorithms and computational complexity theory; for example, the exponent $ω$ of matrix multiplication can be characterized as $ω=2σ(\mathrm{MM}_2)$, where $\mathrm{MM}_2\in\mathbb{F}^4\otimes\mathbb{F}^4\otimes\mathbb{F}^4$ is the tensor that represents $2 imes 2$ matrix multiplication. Our main result is an explicit construction of a sequence $\mathcal{U}_d$ of zero-one-valued tensors that is universal for the worst-case tensor exponent; more precisely, we show that $σ(\mathcal{U}_d)=σ(d)$ where $σ(d)=\sup_{T\in\mathbb{F}^d\otimes\mathbb{F}^d\otimes\mathbb{F}^d}σ(T)$. We also supply an explicit universal sequence $\mathcal{U}_Δ$ localised to capture the worst-case exponent $σ(Δ)$ of tensors with support contained in $Δ\subseteq [d] imes[d] imes [d]$; by combining such sequences, we obtain a universal sequence $\mathcal{T}_d$ such that $σ(\mathcal{T}_d)=1$ holds if and only if Strassen's asymptotic rank conjecture [Progr. Math. 120 (1994)] holds for $d$. Finally, we show that the limit $\lim_{d ightarrow\infty}σ(d)$ exists and can be captured as $\lim_{d ightarrow\infty} σ(D_d)$ for an explicit sequence $(D_d)_{d=1}^\infty$ of tensors obtained by diagonalisation of the sequences $\mathcal{U}_d$. As our second result we relate the absence of polynomials of fixed degree vanishing on tensors of low rank, or more generally asymptotic rank, with upper bounds on the exponent $σ(d)$. Using this technique, one may bound asymptotic rank for all tensors of a given format, knowing enough specific tensors of low asymptotic rank.

研究动机与目标

• 构建一个显式的通用张量序列，使其在 $F^d \otimes F^d \otimes F^d$ 中捕捉最坏情况下的张量指数。
• 提供渐近秩的原始表征，避免依赖对偶空间谱点。
• 将低秩张量上消失的低次多项式的存在性缺失与渐近秩的上界联系起来。
• 建立通用张量序列的存在性与斯特拉斯恩渐近秩猜想真值之间的联系。

提出的方法

• 构造一个取值于 \{0,1\} 的通用张量序列 $U_d$，使得 $\sigma(U_d) = \sigma(d)$，即维度 $d$ 中张量指数的上确界。
• 引入一个局部化变体 $U_\Delta$，以捕捉在子集 $\Delta \subseteq [d]^3$ 上支持的张量的最坏情况指数 $\sigma(\Delta)$。
• 将 $U_d$ 和 $U_\Delta$ 组合构造出一个张量 $T_d$，使得 $\sigma(T_d) = 1$ 当且仅当斯特拉斯恩的渐近秩猜想对 $d$ 成立。
• 通过将 $U_d$ 对角化，定义一个对角化张量序列 $D_d$，并证明 $\lim_{d\to\infty} \sigma(d) = \lim_{d\to\infty} \sigma(D_d)$。
• 应用代数几何技术：利用Veronese映射和切触簇上多项式消失条件，以界定渐近秩。
• 运用 $GL(d)^3$ 的表示理论，分析在切触簇上消失的齐次多项式空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否显式构造一个通用张量序列，使其渐近秩能捕捉 $F^d \otimes F^d \otimes F^d$ 中的最坏情况指数？
• RQ2 是否存在一个通用序列，能够检测斯特拉斯恩渐近秩猜想的真伪？
• RQ3 能否通过显式张量构造证明 $\sigma(d)$ 在 $d \to \infty$ 时极限的存在性？
• RQ4 如何利用代数几何工具——特别是切触簇上的多项式方程——来界定渐近秩？
• RQ5 低秩张量上消失的低次多项式缺失，能否导出 $\sigma(d)$ 的有效上界？

主要发现

• 所构造的张量序列 $U_d$ 满足 $\sigma(U_d) = \sigma(d)$，这是首次显式构建的、对最坏情况张量指数的原始表征。
• 局部化序列 $U_\Delta$ 实现了 $\sigma(U_\Delta) = \sigma(\Delta)$，从而可在受限支持内实现对张量指数上界的针对性分析。
• 构造了一个张量 $T_d$，使得 $\sigma(T_d) = 1$ 当且仅当斯特拉斯恩渐近秩猜想对维度 $d$ 成立，直接将该猜想与具体张量性质联系起来。
• 极限 $\lim_{d\to\infty} \sigma(d)$ 存在，且等于 $\lim_{d\to\infty} \sigma(D_d)$，其中 $D_d$ 是 $U_d$ 的对角化形式，通过显式构造确立了收敛性。
• 通过切触簇上多项式消失条件，论文推导出渐近秩的上界：若在子空间 $W$ 中，不存在次数为 $p$ 的多项式在秩-$n$ 张量上消失，则对所有 $T \in W$，有 $\sigma(T) \leq n \binom{\dim W - 1 + p}{\dim W - 1}^{1/p}$。
• 对于空间 $\mathbb{C}^7 \otimes \mathbb{C}^7 \otimes \mathbb{C}^7$，若存在一个边界秩为 18 的超曲面，其定义方程的次数至少为 187000，则对所有此类张量有 $\sigma(T) < 18.25$，展示了该方法在具体情形下的强大效力。