[论文解读] A universal solution scheme for fractional and classical PDEs

Yixuan Wu, Yanzhi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2021

Numerical methods in engineering参考文献 42被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于广义逆多二次（GIMQ）径向基函数的统一无网格伪谱方法，用于求解经典和分数阶PDE，其算子为$(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$，其中$\alpha \in (0,2]$。通过利用高斯超几何函数解析表达GIMQ函数的拉普拉斯算子，该方法统一了局部与非局部拉普拉斯算子的离散化，避免了对超奇异积分的数值近似，并在不同维度下实现了更少未知数和更低计算成本的高精度求解。

ABSTRACT

We propose a unified meshless method to solve classical and fractional PDE problems with $(-Δ)^{\fracα{2}}$ for $α\in (0, 2]$. The classical ($α= 2$) and fractional ($α< 2$) Laplacians, one local and the other nonlocal, have distinct properties. Therefore, their numerical methods and computer implementations are usually incompatible. We notice that for any $α\ge 0$, the Laplacian $(-Δ)^{\fracα{2}}$ of generalized inverse multiquadric (GIMQ) functions can be analytically written by the Gauss hypergeometric function, and thus propose a GIMQ-based method. Our method unifies the discretization of classical and fractional Laplacians and also bypasses numerical approximation to the hypersingular integral of fractional Laplacian. These two merits distinguish our method from other existing methods for the fractional Laplacian. Extensive numerical experiments are carried out to test the performance of our method. Compared to other methods, our method can achieve high accuracy with fewer number of unknowns, which effectively reduces the storage and computational requirements in simulations of fractional PDEs. Moreover, the meshfree nature makes it free of geometric constraints and enables simple implementation for any dimension $d \ge 1$. Additionally, two approaches of selecting shape parameters, including condition number-indicated method and random-perturbed method, are studied to avoid the ill-conditioning issues when large number of points.

研究动机与目标

• 开发一种统一的数值框架，能够使用相同的计算方案求解经典（$\alpha=2$）和分数阶（$\alpha<2$）PDE。
• 克服现有局部与非局部拉普拉斯算子数值方法之间的不兼容性，后者需要分别实现。
• 消除在分数阶拉普拉斯算子计算中对超奇异积分进行数值近似的需要。
• 实现分数阶PDE的高效、高精度模拟，同时降低存储与计算成本。

提出的方法

• 该方法采用广义逆多二次（GIMQ）径向基函数，其幂次$\beta = -(d+1)/2$，适用于维度$d \geq 1$。
• 利用高斯超几何函数对$(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$作用于GIMQ函数的解析表达式，实现无需数值积分的精确计算。
• 该方法采用伪谱配点法，其中解被近似为以散乱节点为中心的GIMQ基函数的线性组合。
• 对于$\alpha=2$，狄利克雷边界条件直接在域边界（$\partial\Omega$）上强制施加；对于$\alpha<2$，则在补集（$\Omega^c$）上强制施加，使用分数阶拉普拉斯算子的逐点定义。
• 提出了两种形状参数选择策略：基于条件数的指示法与随机扰动法，以缓解大规模点集下的病态性问题。
• 该方法为无网格方法，可在任意维度$d \geq 1$下实现，且无需几何约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发出一种单一的数值格式，统一求解由$(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$控制的经典与分数阶PDE？
• RQ2 如何在不依赖对超奇异积分进行数值积分的情况下，准确捕捉分数阶拉普拉斯算子的非局部特性？
• RQ3 当边界不与域接触时，边界条件对解域的影响如何，特别是在分数阶扩散中？
• RQ4 不同的形状参数选择策略对大规模问题中基于GIMQ方法的条件数与精度有何影响？
• RQ5 与现有的RBF或高斯基方法相比，所提出的方法在精度与计算效率方面有多大程度的优越性？

主要发现

• 所提方法实现了与近期基于高斯方法相当的谱精度，但未知数更少，计算成本更低。
• 基于GIMQ的方法通过利用高斯超几何函数的解析表达式，避免了在分数阶拉普拉斯算子中对超奇异积分的数值求值。
• 对于均匀分布的中心点，基于高斯方法的最优形状参数对点数的敏感性高于基于GIMQ的方法。
• 基于条件数指示的形状参数选择方法能有效抑制病态性，并在点数较多时仍保持高精度，尽管需要额外的计算时间。
• 随机扰动形状参数方法在显著降低计算时间的同时，仍保持了可接受的精度与稳定性。
• 数值结果表明，由于算子的非局部特性，即使边界区域与域不相连，边界条件对分数阶拉普拉斯算子解的影响依然显著，且$\alpha$越小或距离越短，影响越强。