[论文解读] A user-friendly condition for exponential ergodicity in randomly switched environments

Michel Benaı̈m, Tobias Hurth+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文为具有有限个向量场随机切换的连续时间半马尔可夫过程（PDMPs）在紧致不变集上建立了便于使用的指数遍历性条件。通过用‘存在一个可达点，使得向量场的重心组合在此处为零’的条件替代‘全局渐近稳定平衡点’的要求，作者在弱霍尔曼型括号条件下证明了总变差范数下的指数收敛性，简化了实际验证过程，并推广了Li、Liu与Cui（2017）的先前结果。

ABSTRACT

We consider random switching between finitely many vector fields leaving positively invariant a compact set. Recently, Li, Liu and Cui showed that if one the vector fields has a globally asymptotically stable (G.A.S.) equilibrium from which one can reach a point satisfying a weak H\\"ormander-bracket condition, then the process converges in total variation to a unique invariant probability measure. In this note, adapting the proof of Li, Liu and Cui and using results of Bena\\"im, Le Borgne, Malrieu and Zitt, the assumption of a G.A.S. equilibrium is weakened to the existence of an accessible point at which a barycentric combination of the vector fields vanishes. Some examples are given which demonstrate the usefulness of this condition.

研究动机与目标

• 弱化先前关于随机切换PDMPs指数遍历性结果中对全局渐近稳定（G.A.S.）平衡点的假设。
• 在弱霍尔曼括号条件下，建立一种更易访问且可验证的总变差范数下指数收敛性条件。
• 通过利用Benaïm、Loulou、Méléard与Zuyev（2015）的结果并适配Li、Liu与Cui（2017）的框架，简化指数遍历性的证明。
• 通过实例展示新条件的实际效用，尤其在强括号条件无法成立的非解析情形中。
• 阐明新条件与强括号条件之间的关系，表明在解析情形下前者蕴含后者，但一般情况下前者更弱。

提出的方法

• 引入新条件：存在一个可达点 $e^\star$，使得向量场的重心组合在此处为零，即 $\sum_{i=1}^N \alpha_i F^i(e^\star) = 0$，其中 $\alpha_i > 0$ 且 $\sum \alpha_i = 1$。
• 利用Doeblin点与复合流 $\mathbf{\Phi}_{\mathbf{u}}^{\mathbf{i}}$ 的可达性概念，刻画过程的可达性与正则性。
• 对复合流映射 $\Psi$ 及其扰动 $\overline{\Psi}$ 应用横截定理，证明在新条件下，雅可比矩阵在 $e^\star$ 处的秩为满秩。
• 通过证明导数族 $\partial \overline{\Psi}/\partial v_k$ 与 $\partial \overline{\Psi}/\partial \bar{v}_k$ 张成 $\mathbb{R}^d$，结合重心组合为零与 $\Psi$ 的横截性质，证明 $\overline{\Psi}$ 在 $e^\star$ 处为横截映射。
• 利用 [BLBMZ15] 的结果：若在某点存在满秩的横截映射，则存在Doeblin集，从而推出总变差范数下的指数遍历性。
• 利用弱括号条件在可达点成立，结合新重心条件，确保过程满足Doeblin条件所必需的正则性，从而实现指数收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在先前关于随机切换PDMPs的遍历性结果中，以更弱且更易验证的条件替代全局渐近稳定平衡点的假设？
• RQ2 在弱霍尔曼括号条件下，是否存在一个可达点，使得向量场的重心组合在此处为零，从而蕴含指数遍历性？
• RQ3 新条件与强括号条件之间有何关系？在何种情形下新条件严格弱于强括号条件？
• RQ4 新条件能否在强括号条件难以验证的系统中实际应用？
• RQ5 解析性在连接重心条件与强括号条件中起什么作用？

主要发现

• 本文证明，在存在一个可达点 $e^\star$ 使得向量场的重心组合为零的较弱条件下，总变差范数下的指数遍历性成立，从而取代了对全局渐近稳定平衡点的需求。
• 通过利用 [BLBMZ15] 中关于横截映射与Doeblin集的结果，简化了证明方法，避免了 [LLC17] 中使用的更复杂的耦合论证。
• 在解析情形下，可达点处的重心条件蕴含强括号条件，因此可恢复 [BLBMZ15] 结果的全部强度。
• 一般情况下，新条件严格弱于强括号条件，如例2.14所示：该系统满足重心条件与弱括号条件，但不满足强括号条件。
• 例2.13表明，在非解析情形下，重心条件不蕴含强括号条件，从而确认二者在一般情况下相互独立。
• 作者证明，在新条件下，复合流映射 $\overline{\Psi}$ 在 $e^\star$ 处为横截映射，从而保证Doeblin集的存在，进而推出指数遍历性。