[论文解读] A van der Corput lemma and weak mixing over groups

Conrad Beyers, Rocco Duvenhage+1 more|ArXiv.org|Dec 2, 2005

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过在阿贝尔第二可数拓扑群上使用希尔伯特空间值函数的广义 van der Corput 引理，建立了具有不变测度的保测度动力系统对所有阶的弱混合性。关键贡献在于证明：当 $M$ 中的同态互不相同且具有平移性时，相对于一致填满的网的 $M$-弱混合性蕴含所有阶的弱混合性。

ABSTRACT

We study weak mixing of all orders for weakly mixing measure preserving dynamical systems, where the dynamics is given by the action of an abelian second countable topological group which has an invariant measure under the group operation. One of the main technical tools we use is a van der Corput lemma for Hilbert space valued functions on a second countable topological group.

研究动机与目标

• 将全阶弱混合性的概念从 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{R}$ 扩展到更一般的具有不变测度的阿贝尔第二可数拓扑群。
• 为这类群上的希尔伯特空间值函数开发一个 van der Corput 引理作为核心技术工具。
• 直接推广 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N$ 平均形式，避免依赖不变均值。
• 建立 $M$-弱混合性蕴含全阶弱混合性的条件，通过群的同态实现。
• 以不同同态的多重遍历平均收敛性来刻画全阶弱混合性。

提出的方法

• 为第二可数拓扑群上的希尔伯特空间值函数引入广义 van der Corput 引理，使用右不变测度。
• 定义填满网（Følner 网）和一致填满网，以将平均过程推广至 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{R}$ 之外。
• 利用平均 $\frac{1}{\mu(\Lambda_n)}\int_{\Lambda_n} u_g \, dg$ 在 $L^2$-范数下的收敛性来分析弱混合行为。
• 应用广义 van der Corput 引理来控制涉及不同同态的多重相关平均的范数。
• 通过相关集合数量的归纳法证明全阶弱混合性。
• 利用 $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ 为一致填满网的条件，确保所需的收敛性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，相对于一致填满网 $\{\Lambda_n\}$ 的 $M$-弱混合性可推出概率空间上群作用的全阶弱混合性？
• RQ2 如何将经典的 van der Corput 引理推广至具有不变测度的阿贝尔第二可数拓扑群上的希尔伯特空间值函数？
• RQ3 同态集合 $M$ 的结构在确保全阶弱混合性方面起什么作用？
• RQ4 在什么情况下，可省略或替换对 $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ 的 $M$-弱混合性假设？
• RQ5 在非阿贝尔或非离散群作用下，标准 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N$ 形式何时可推广？

主要发现

• 本文证明：若一个保测度系统相对于一致填满网 $\{\Lambda_n\}$ 是 $M$-弱混合的，则其关于 $M$ 中不同同态的全阶弱混合性成立。
• 广义 van der Corput 引理（定理 2.7′）在适当条件下确保 $\lim_{n\to\infty}\left\|\frac{1}{\mu(\Lambda_n)}\int_{\Lambda_n} u_g \, dg\right\|_{L^2} = 0$，从而实现对多重相关性的控制。
• 当 $G = \mathbb{Z}$ 且 $\Lambda_n = \{-n,\dots,n\}$ 时，若系统相对于 $\{\Lambda_n\}$ 是弱混合的，则其为全阶弱混合，从而恢复经典结果。
• 当 $G = \mathbb{R}^q$ 时，取 $\Lambda_m$ 为半径为 $m$ 的开球，可得一致填满网，且 $\Lambda_m^{-1}\Lambda_m = \Lambda_{2m}$，满足定理 4.4 的条件。
• 若 $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ 为一致填满网，则根据推论 3.10，可省略对 $\{\Lambda_n^{-1}\Lambda_n\}$ 的 $M$-弱混合性假设。
• 该结果可推广至 $M$ 为作用在 $\mathbb{R}^q$ 上的非零对角 $q\times q$ 矩阵集合的情形，这些矩阵构成平移同态集，从而保证全阶弱混合性。