[论文解读] A van der Corput-type algorithm for LS-sequences of points

Ingrid Carbone|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Mathematical Approximation and Integration参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文提出了一种类似 van der Corput 的算法，通过使用自定义的 LS-根号逆函数对 LS-划分点序列中的点进行重排，生成 LS-点序列。该方法利用自然数的基-$L+S$ 表示以及仿射几何映射，将经典的 van der Corput 序列扩展到更广泛的低差异序列类别，具备显式构造和均匀分布特性。

ABSTRACT

In this paper we associate to any $LS$-sequence of partitions ${ρ_{L,S}^n}$ the corresponding $LS$-sequence of points ${ξ_{L,S}^n}$ obtained reordering the points of each partition with an explicit algorithm. The procedure begins with the representation in base $L+S$ of natural numbers, $[n]_{L+S}$, and ends with the $LS$-radical inverse function $ϕ_{L,S}$, introduced ad hoc, evaluated at an appropriate subsequence of natural numbers depending on $L$ and $S$. This construction is deeply related to the geometric representation of the points of ${ξ_{L,S}^n}$ by suitable affine functions and reminds the van der Corput sequences in base $b$. Keywords: Uniform distribution, sequences of partitions, van der Corput sequences, discrepancy.

研究动机与目标

• 开发一种系统性算法，从 LS-划分点序列生成 LS-点序列。
• 将经典的 van der Corput 构造方法推广至由 $L$ 和 $S$ 参数化的更广泛序列类别。
• 建立几何仿射映射与 LS-序列分布之间的联系。
• 定义并利用一种新型 $LS$-根号逆函数以生成点。
• 确保生成序列的均匀分布与低差异。

提出的方法

• 构造从自然数的基-$L+S$ 表示 $[n]_{L+S}$ 开始。
• 根据参数 $L$ 和 $S$ 选择自然数的一个适当子序列。
• 对这一子序列应用 $LS$-根号逆函数 $ϕ_{L,S}$ 以生成点坐标。
• 通过该函数对每个划分 $ρ_{L,S}^n$ 中的点进行重排，形成序列 $ξ_{L,S}^n$。
• 使用仿射函数的几何表示来分析与构造该序列。
• 该方法将经典的 van der Corput 序列构造推广至 $LS$-序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将类似 van der Corput 的算法适配以生成 LS-点序列？
• RQ2 LS-根号逆函数在确保均匀分布中起到什么作用？
• RQ3 仿射几何映射如何与 LS-序列的结构相关联？
• RQ4 基-$L+S$ 表示的哪些性质使得其能够生成低差异点序列？
• RQ5 经典的 van der Corput 构造能否推广至由参数 $L$ 和 $S$ 定义的 $LS$-序列？

主要发现

• 所提出的算法通过使用 LS-根号逆函数对划分进行重排，成功生成了 LS-点序列。
• 该构造通过显式的几何与数论映射，确保了点的均匀分布。
• 该方法通过 $L$ 和 $S$ 的参数化，将经典的 van der Corput 序列推广至更广泛的序列类别。
• LS-根号逆函数专为此构造而定义，其依赖于由 $L$ 和 $S$ 确定的自然数子序列。
• 通过仿射函数的几何解释，为生成序列的分布与结构提供了深入洞察。
• 序列 $ξ_{L,S}^n$ 通过基-$L+S$ 数字的系统性变换，实现了低差异。