[论文解读] A variant of the prime number theorem

Kui Liu, Jie Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2021

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文在涉及 von Mangoldt 函数在 $ x/n $ 的整数部分上平均的素数定理变体中，建立了一个新的误差项。通过运用 Vaughan 恒等式和先进的指数和技巧，对三维指数和进行精细化估计，作者将误差指数从 $ 97/203 \approx 0.4778 $ 改进至 $ 9/19 \approx 0.4736 $，实现了 $ O_{\varepsilon}(x^{9/19 + \varepsilon}) $ 的误差界，这代表了该算术平均问题中先前结果的定量优化。

ABSTRACT

Let $Λ(n)$ be the von Mangoldt function, and let $[t]$ be the integral part of real number $t$. In this note, we prove that for any $\varepsilon>0$ the asymptotic formula $$ \sum_{n\le x} Λ\Big(\Big[\frac{x}{n}\Big]\Big) = x\sum_{d\ge 1} \frac{Λ(d)}{d(d+1)} + O_{\varepsilon}\big(x^{9/19+\varepsilon}\big) \qquad (x o\infty)$$ holds. This improves a recent result of Bordellès, which requires $\frac{97}{203}$ in place of $\frac{9}{19}$.

研究动机与目标

• 改进 $ \sum_{n \leq x} \Lambda\left(\left\lfloor \frac{x}{n}\right\rfloor\right) $ 的渐近公式中的误差项，这是素数定理的一个变体。
• 在先前结果的基础上进一步优化误差指数，特别是超越 Bordellès 建立的 $ 97/203 $ 边界。
• 应用先进的指数和技巧，特别是在三维情形下，以获得更紧致的误差估计。
• 证明新指数 $ 9/19 $ 优于经典指数对假设下的结果，即使在 Riemann 假设下也具有优势。
• 为 $ \Lambda $ 在 $ x/n $ 的下取整上的和提供更精确的渐近公式，从而深化对结构化序列中素数分布的理解。

提出的方法

• 利用 Vaughan 恒等式将和 $ \sum_{D < d \leq 2D} \Lambda(d) g(d) $ 分解为 I 型和 II 型和，从而实现对指数和的更精细控制。
• 应用对三维指数和 $ \mathfrak{S}_{\delta,3} $ 的新估计，该估计源自对文献 [2] 中引理 2.1 的推广版本在丢番图不等式中的应用。
• 采用 Vaaler 的三角多项式逼近方法处理分数部分函数 $ \psi(t) = \{t\} - 1/2 $，从而通过指数和界有效处理误差项。
• 在 dyadic 区间上优化参数 $ H $、$ M $、$ N $ 和 $ D $ 的选择，以平衡和分解中相互竞争的误差项。
• 结合来自 [1] 和 [5] 的三维与二维指数和估计，推导出主导 $ S_2(x) $ 总误差的复合误差项。
• 对 $ d $ 的和应用 dyadic 分解，将范围 $ N < d \leq x/N $ 划分为 dyadic 区间 $ D_j = x/(2^j N) $，并在每个区间上应用主估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $ \sum_{n \leq x} \Lambda\left(\left\lfloor \frac{x}{n}\right\rfloor\right) $ 的渐近公式中，将误差项改进至超越当前已知指数 $ 97/203 $ 的程度？
• RQ2 使得 $ \sum_{n \leq x} \Lambda\left(\left\lfloor \frac{x}{n}\right\rfloor\right) = x \sum_{d \geq 1} \frac{\Lambda(d)}{d(d+1)} + O_{\varepsilon}(x^{\theta + \varepsilon}) $ 成立的最优指数 $ \theta $ 是什么？
• RQ3 在此背景下，三维指数和估计是否能提供比二维估计更优的误差界？
• RQ4 在当前解析数论技术下，指数 $ 9/19 $ 是否最优，特别是与 Riemann 假设下的结果相比？
• RQ5 指数和方法结合 Vaughan 恒等式能否系统性地推广至 $ \Lambda(n) $ 以外的其他算术函数？

主要发现

• 作者建立了渐近公式 $ \sum_{n \leq x} \Lambda\left(\left\lfloor \frac{x}{n}\right\rfloor\right) = x \sum_{d \geq 1} \frac{\Lambda(d)}{d(d+1)} + O_{\varepsilon}(x^{9/19 + \varepsilon}) $，其误差指数优于此前已知的 $ 97/203 \approx 0.4778 $。
• 新误差指数 $ 9/19 \approx 0.4736 $ 严格小于 $ 97/203 $，代表误差项增长速率的非平凡改进。
• 该改进通过精细化分析三维指数和实现，特别是通过对 $ \mathfrak{S}_{\delta,3} $ 的新界估计，该估计主导了 $ d $ 上和的误差。
• 该方法不依赖 Riemann 假设，但仍优于 Ma 和 Wu 得到的 $ 35/71 \approx 0.493 $ 边界，甚至优于在指数对假设下的 $ 28/59 \approx 0.4745 $ 边界。
• 当选择 $ N = x^{9/19} $ 时，结果具有鲁棒性，该选择平衡了 $ S_1(x) $ 和 $ S_2(x) $ 中的误差项，从而得到最优总误差 $ O_{\varepsilon}(x^{9/19 + \varepsilon}) $。
• 分析确认，三维指数和估计是误差的主要来源，其优化直接导致最终界，其余项可被吸收进主误差项中。