[论文解读] A variational analysis for the moving finite element method for gradient flows

Xianmin Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于Onsager原理的新型变分推导方法，用于梯度流方程的移动有限元法（MFEM），确保离散能量耗散。证明了MFEM在时间趋于无穷时收敛至能量泛函的局部极小值点，当全局极小值被捕捉时，收敛速率达到最优，并通过线性和非线性扩散问题（包括Allen-Cahn方程）的数值实验得到验证。

ABSTRACT

By using the Onsager principle as an approximation tool, we give a novel derivation for the moving finite element method for gradient flow equations. We show that the discretized problem has the same energy dissipation structure as the continuous one. This enables us to do numerical analysis for the stationary solution of a nonlinear reaction diffusion equation using the approximation theory of free-knot piecewise polynomials. We show that under certain conditions the solution obtained by the moving finite element method converges to a local minimizer of the total energy when time goes to infinity. The global minimizer, once it is detected by the discrete scheme, approximates the continuous stationary solution in optimal order. Numerical examples for a linear diffusion equation and a nonlinear Allen-Cahn equation are given to verify the analytical results.

研究动机与目标

• 开发一种基于Onsager原理作为基础框架的新变分推导方法，用于梯度流系统的移动有限元法（MFEM）。
• 建立离散MFEM问题，使其与连续梯度流系统的能量耗散结构保持一致。
• 针对非线性反应-扩散方程的静止解，采用自由节点分段多项式逼近方法，进行严格的误差分析。
• 在离散格式能够检测到能量泛函全局极小值的条件下，证明MFEM的最优收敛速率。
• 通过线性和非线性扩散方程（包括Allen-Cahn方程）的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 应用Onsager变分原理，通过最小化由耗散项和能量变化项组成的Rayleighian泛函，推导系统的时变演化过程。
• 在自由节点分段多项式构成的非线性空间中构建有限元逼近，将节点值和网格顶点均作为待优化的未知量。
• 推导出关于节点值和网格点时间演化的常微分方程组（ODEs），其形式与经典MFEM一致，无需使用平滑化或奇异函数处理。
• 在离散格式中保持了连续问题的能量耗散结构，从而支持稳定性与收敛性分析。
• 利用自由节点分段多项式逼近的非线性逼近理论，推导误差界，尤其针对静止解。
• 数值实验将离散系统求解至每步能量下降低于容差，观察到自适应网格加密使节点集中在解曲率较高的区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Onsager变分原理用作系统化框架，推导梯度流系统的移动有限元法？
• RQ2 离散MFEM格式是否保持了连续梯度流系统的能量耗散结构？
• RQ3 当时间趋于无穷时，MFEM在何种条件下收敛至能量泛函的局部极小值点？
• RQ4 当离散空间中检测到能量泛函的全局极小值时，MFEM对静止解的最优收敛速率是什么？
• RQ5 在非线性梯度流中，MFEM的H¹范数误差与能量误差如何随网格加密而变化？

主要发现

• 通过Onsager原理推导的MFEM精确保持了连续梯度流系统能量耗散结构。
• 在适当条件下，MFEM解在时间趋于无穷时收敛至能量泛函的局部极小值点。
• 当全局极小值在离散自由节点分段线性空间中被检测到时，H¹范数误差以最优速率O(N⁻¹)收敛，其中N为单元数。
• 能量误差以最优速率O(N⁻²)收敛，与非线性逼近理论推导的理论界一致。
• Allen-Cahn方程的数值结果（ε = 0.05 和 ε = 0.01）证实了最优收敛速率：H¹误差 ≈ O(N⁻¹)，能量误差 ≈ O(N⁻²)，即使在N = 5的粗网格上也成立。
• 自适应网格自然地将节点集中在尖锐过渡区域的内部层，表明H¹范数下误差分布均匀。