[论文解读] A variational Approach to complex Hessian equations in $\mathbb{C}^n$

Lu Hoang Chinh|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 14

一句话总结

本文提出一种变分方法，用于在 $\mathbb{C}^n$ 中求解退化复 $m$-Hessian 方程 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$，基于 $m$-次调和函数的有限能量类。若该类中所有函数关于 $\mu$ 可积，则在 $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 中存在且唯一解；若 $\mu$ 具有有限总质量且不赋予 $m$-极集正质量，则在 $\mathcal{F}_m(\Omega)$ 中存在唯一解。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a $m$-hyperconvex domain of $\mathbb{C}^n$ and $β$ be the standard Kähler form in $\mathbb{C}^n$. We introduce finite energy classes of $m$-subharmonic functions of Cegrell type, $\mathcal{E}_m^p, p>0$ and $\mathcal{F}_m$. Using a variational method we show that the degenerate complex Hessian equation $(dd^cφ)^m\wedge β^{n-m}=μ$ has a unique solution in $\mathcal{E}_m^1$ if and only if every function in $\mathcal{E}_m^1$ is integrable with respect to $μ$. If $μ$ has finite total mass and does not charge $m$-polar sets, then the equation has a unique solution in $\mathcal{F}_m$.

研究动机与目标

• 建立求解 $\mathbb{C}^n$ 中退化复 $m$-Hessian 方程的变分框架。
• 定义并研究 $m$-次调和函数的有限能量类 $\mathcal{E}^p_m(\Omega)$ 和 $\mathcal{F}_m(\Omega)$。
• 通过 $\mu$ 的可积性与容量条件刻画复 Hessian 方程 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ 的可解性。
• 将变分方法从复 Monge-Ampère 情况推广至更一般的复 Hessian 设置。

提出的方法

• 基于 $\varphi$ 关于 Hessian 测度 $H_m(\varphi) = (dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m}$ 的可积性，引入 $m$-次调和函数的有限能量类 $\mathcal{E}^p_m(\Omega)$ 和 $\mathcal{F}_m(\Omega)$。
• 应用受 [5] 启发的变分方法，在 $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 上最小化包含能量与质量项的泛函。
• 利用比较原理与 $m$-容量收敛性，建立解的唯一性与稳定性。
• 运用 Hölder 不等式与容量估计，将 $\mu$ 的 $L^p$ 可积性与属于 $\mathcal{F}_m^q(\Omega)$ 的关系联系起来。
• 通过 $\mathcal{E}^0_m(\Omega)$ 中光滑 $m$-次调和函数对 $m$-次调和函数进行逼近，以推广比较原理。
• 利用单调收敛定理与容量估计，控制 $m$-次调和函数序列及其 Hessian 测度的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于正 Radon 测度 $\mu$，在什么条件下退化复 Hessian 方程 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ 在 $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 中存在唯一解？
• RQ2 当 $\mu$ 具有有限总质量时，方程在类 $\mathcal{F}_m(\Omega)$ 中何时存在唯一解？
• RQ3 函数关于 $\mu$ 的可积性与 $\mu$ 不赋予 $m$-极集正质量之间，如何与可解性相关联？
• RQ4 当 $\mu$ 具有 $L^p$ 密度时，使得 $\mu = H_m(\varphi)$ 对于 $\varphi \in \mathcal{F}_m^q(\Omega)$ 成立的最优指数 $q$ 是多少？
• RQ5 比较原理能否推广至类 $\mathcal{F}_m^a(\Omega)$？从 $\mathcal{E}^0_m(\Omega)$ 进行逼近在该推广中起什么作用？

主要发现

• 方程 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ 在 $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 中存在唯一解，当且仅当 $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 中所有函数关于 $\mu$ 可积。
• 若 $\mu$ 具有有限总质量且不赋予 $m$-极集正质量，则在 $\mathcal{F}_m(\Omega)$ 中存在唯一解。
• 对于 $\mu = f dV$ 且 $f \in L^p(\Omega)$，$p > 1$ 且 $p < n/m$，解 $\varphi$ 属于 $\mathcal{F}_m^q(\Omega)$，对所有 $q < \frac{nm(p-1)}{n - mp}$ 成立。
• 指数 $q = \frac{nm(p-1)}{n - mp}$ 是最优的，这由例子 $\varphi_\alpha = 1 - \|z\|^{-2\alpha}$（$\alpha \in (0, \frac{n-m}{m})$）说明：$\varphi_\alpha \in \mathcal{F}_m^q(\Omega)$ 当且仅当 $q < \frac{n-m}{\alpha} - m$。
• 比较原理对 $\mathcal{F}_m^a(\Omega)$ 中的函数成立，该结论通过 $\mathcal{E}_m^0(\Omega)$ 中函数的逼近与 $m$-容量收敛性得到证明。
• 容量估计 $\mathrm{Cap}_m(\varphi < -t) \leq C \cdot \mathrm{E}_p(\varphi) \cdot t^{-(m+p)}$ 对 $\varphi \in \mathcal{E}_m^p(\Omega)$ 成立，提供了能量与容量之间的定量联系。