[论文解读] A variational approach to complex Monge-Ampere equations

Robert J. Berman, Sébastien Boucksom+2 more|ArXiv.org|Jul 27, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 23

一句话总结

本文提出了一种变分方法，用于在紧致凯勒流形上的大上同调类中求解退化的复蒙日-安培方程，且不依赖于丘定理。该方法建立了全纯复能泛函，其最小化可得到唯一解，从而推广了奇异凯勒-爱因斯坦度量的结果，并证明了当 k→∞ 时，k-平衡度量收敛于典范度量。

ABSTRACT

We show that degenerate complex Monge-Ampere equations in a big cohomology class of a compact Kaehler manifold can be solved using a variational method independent of Yau's theorem. Our formulation yields in particular a natural pluricomplex analogue of the classical logarithmic energy of a measure. We also investigate Kaehler-Einstein equations on Fano manifolds. Using continuous geodesics in the closure of the space of Kaehler metrics and Berndtsson's positivity of direct images we extend Ding-Tian's variational characterization and Bando-Mabuchi's uniqueness result to singular Kaehler-Einstein metrics. Finally using our variational characterization we prove the existence, uniqueness and convergence of k-balanced metrics in the sense of Donaldson both in the (anti)canonical case and with respect to a measure of finite pluricomplex energy in our sense.

研究动机与目标

• 开发一种直接的变分方法，用于求解退化的复蒙日-安培方程，且不依赖于丘的连续性方法。
• 通过最小化全纯复能泛函来表征解，将经典对数能量推广至复几何。
• 利用连续测地线和伯恩斯坦的正则性定理，建立奇异凯勒-爱因斯坦度量的存在性与唯一性。
• 证明当 k→∞ 时，k-平衡度量在（反）典范及一般测度情形下收敛于典范度量。

提出的方法

• 将全纯复能泛函 E(φ) 形式化为阿宾的 J-泛函的推广，通过 ω-拟凸函数的积分定义。
• 为当前 T = ω + ddᶜφ 引入 J-泛函 J(T) = ∫φ ωⁿ − E(φ)，以表征完整的蒙日-安培质量。
• 通过 F = E − L 的变分表征方法，求解蒙日-安培方程，其中 L 表示某测度的作用。
• 在凯勒度量空间的闭包中应用连续测地线，将丁-田的变分原理推广至奇异度量。
• 利用布什-卡特林-田-泽利奇奇定理，将离散能量泛函 Dₖ 与连续能量 E 在 k→∞ 时的极限联系起来。
• 通过一致估计，建立离散泛函 Fₖ = Dₖ − L∘fₖ 的 Jₖ-控制性，确保极大值点的存在与收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用一种不依赖于丘定理的直接变分方法，求解大上同调类中的退化复蒙日-安培方程？
• RQ2 是否存在一个自然的全纯复对偶，可作为测度对数能量的推广，以表征蒙日-安培方程的解？
• RQ3 是否可以利用测地线方法，将凯勒-爱因斯坦度量的变分表征推广至奇异度量？
• RQ4 当 k→∞ 时，k-平衡度量是否收敛于典范度量？若收敛，其条件为何？

主要发现

• 该变分方法为大上同调类中退化复蒙日-安培方程的解的存在性与唯一性提供了新且直接的证明，无需使用丘的连续性方法。
• 蒙日-安培方程的解被表征为在有限能量类 E¹(A) 上泛函 F = E − L 的唯一极大值点。
• k-平衡度量 φₖ 沿当前意义收敛于典范度量 T，且 ddᶜφₖ 弱收敛于 T。
• 对所有充分大的 k，离散泛函 Fₖ 的 Jₖ-控制性被一致建立，确保了极大值点的存在与稳定性。
• 离散能量泛函 Dₖ 的极限收敛于连续能量 E，且对光滑 ψ 有 L(Pₖ(ψ)) → L(ψ)，确保了极限的一致性。
• 收敛性证明依赖于一个关键估计 (7.8)，该估计关联 Jₖ 与 J∘fₖ，从而控制离散逼近中的误差。