[论文解读] A variational approach to high-order r-adaptation

Julian Marcon, Michael G. Turner+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于变分框架的高阶r-型自适应方法，通过度量张量操控目标单元以引导节点重定位，最小化单元畸变。该方法成功实现了各向异性的高阶网格自适应，在曲面特征附近提升了分辨率，同时保持了网格连通性和自由度。

ABSTRACT

A variational framework, initially developed for high-order mesh optimisation, is being extended for r-adaptation. The method is based on the minimisation of a functional of the mesh deformation. To achieve adaptation, elements of the initial mesh are manipulated using metric tensors to obtain target elements. The nonlinear optimisation in turns adapts the final high-order mesh to best fit the description of the target elements by minimising the element distortion. Encouraging preliminary results prove that the method behaves well and can be used in the future for more extensive work which shall include the use of error indicators from CFD simulations.

研究动机与目标

• 将变分网格优化框架扩展至支持高阶有限元方法中的r-型自适应。
• 在集中关注区域提升分辨率的同时，保持网格连通性和自由度。
• 证明可利用度量张量定义目标单元形状以实现自适应网格划分。
• 为未来与CFD模拟中的误差指示器集成提供基础。
• 实现高效、基于节点的自适应，适用于非定常流模拟，避免昂贵的重划分网格过程。

提出的方法

• 该方法基于超弹性形变能量的变分公式，以最小化网格畸变。
• 通过编码期望单元形状与大小的度量张量定义目标单元，实现各向同性或各向异性自适应。
• 通过线性变换（旋转、缩放、再旋转）修改目标映射的雅可比矩阵，实现方向性加密。
• 使用高斯分布定义径向方向的空间可变缩放因子，实现在圆形区域周围的定向加密。
• 通过最小化当前网格与由度量张量定义的目标单元之间的形变能量泛函，实现节点重定位。
• 每个单元的目标形状在其中心点处使用单一度量张量计算，生成线性目标单元，随后由优化过程弯曲为曲线形状。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将变分网格优化框架扩展以支持高阶网格中的r-型自适应？
• RQ2 如何利用度量张量定义各向异性目标单元形状以实现针对性的网格加密？
• RQ3 该方法在曲面区域的单元质量与分辨率集中方面表现如何？
• RQ4 该方法能否在实现高分辨率自适应的同时保持网格连通性和自由度？
• RQ5 该方法未来如何推广以结合CFD模拟中的误差指示器？

主要发现

• 该方法成功在直径为单位长度的圆形轮廓上实现各向异性加密，仅在径向方向压缩单元。
• 自适应后的网格在目标区域表现出显著的分辨率集中，其他区域因节点重分布而出现粗化。
• 该方法保持了单元连通性，并在整个自适应过程中维持了恒定的自由度数量。
• 该算法在目标区域附近生成高度弯曲的单元，与高阶网格自适应的预期行为一致。
• 在每个单元的重心处使用单一的度量张量生成线性目标单元，随后由优化过程变形为曲线形状。
• 初步结果证实了该方法的可行性与鲁棒性，具有与未来误差指示器集成的强潜力。