[论文解读] A variational formulation of Griffith phase-field fracture with material strength
该论文将 Griffith 相场断裂与材料强度重新表述为一个变分问题，证明位移与相场对分别极小化两个独立的泛函，类似于经典相场断裂中的交替最小化。
In this expository Note, it is shown that the Griffith phase-field theory of fracture accounting for material strength originally introduced by Kumar, Francfort, and Lopez-Pamies (J Mech Phys Solids 112, 523--551, 2018) in the form of PDEs can be recast as a variational theory. In particular, the solution pair $( extbf{u},v)$ defined by the PDEs for the displacement field $ extbf{u}$ and the phase field $v$ is shown to correspond to the fields that minimize separately two different functionals, much like the solution pair $( extbf{u},v)$ defined by the original phase-field theory of fracture without material strength implemented in terms of alternating minimization. The merits of formulating a complete theory of fracture nucleation and propagation via such a variational approach -- in terms of the minimization of two different functionals -- are discussed.
研究动机与目标
- 提出一个完整的宏观断裂理论，兼顾弹性、强度和临界能量释放率。
- 证明耦合偏微分方程组可以从两个独立的能量泛函推导出。
- 建立一个与相场断裂中的交替最小化一致的变分原理。
- 讨论在单调、准静态加载下断裂核化与扩展的含义。
- 突出与现有基于 Griffith 的以及包含强度的断裂理论之间的联系。
提出的方法
- 定义一个形变能泛函 E_d^ε(u;v)，其欧拉-拉格朗日方程得到动量平衡方程。
- 定义一个断裂能泛函 E_f^ε(v;u)，其欧拉-拉格朗日方程再现考虑强度的相场演化。
- 证明在固定 v 时，位移 u 在可接受位移范围内最小化 E_d^ε；在固定 u 时，相场 v 在可接受相场范围内最小化 E_f^ε。
- 描述驱动力 c_e(X,t) 和将 Drucker-Prager 强度表面导入 E_f^ε 的系数 δ^ε。
- 解释通过 ε 的正则化以及不可逆性约束 v ∈ [0,1], v ≤ v_{k-1}。
- 解释交替最小化的解释以及它与原始相场断裂理论的关系。
实验结果
研究问题
- RQ1脆性固体中的断裂核化与扩展是否可以通过一个包含弹性、强度和断裂能的变分两泛函框架来捕捉？
- RQ2在变分设定中，包含 Drucker-Prager 强度表面如何影响相场演化和断裂起始？
- RQ3在 ε → 0 时，具有材料强度的相场断裂是否等价于考虑强度的 Griffith 型变分表述？
- RQ4将标准相场方法视为无强度的特例，其数学与物理含义是什么？
主要发现
- 位移与相场的 PDE 系统可以解释为两个独立泛函的欧拉-拉格朗日方程。
- 形变能泛函决定在弹静力平衡下的物体形变。
- 断裂泛函通过平衡弹性能、强度和断裂能来支配裂纹的核化和扩展。
- 该框架通过变分镜头将包含强度的断裂与经典 Griffith 理论统一起来。
- 在均匀加载下，断裂核化与强度表面的超越相一致；当强度被克服时，大裂纹的传播遵循类似 Griffith 的准则。
- 该方法仍与交替最小化兼容，并阐明各能量项在断裂动力学中的作用。
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