[论文解读] A Variational Lagrangian Scheme for a Phase Field Model: A Discrete Energetic Variational Approach

Chun Liu, Yiwei Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2020

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 70被引用 4

一句话总结

本文提出了一种变分拉格朗日格式，用于改进的Allen-Cahn相场模型，通过离散能量变分方法保持能量耗散结构。通过在拉格朗日映射中引入正则化项来表述动力学，该方法实现了能量稳定性，并能以最少的网格点精确捕捉薄的扩散界面，从而实现对平衡态的鲁棒计算。

ABSTRACT

In this paper, we propose a variational Lagrangian scheme for a modified phase-field model, which can compute the equilibrium states for the original Allen-Cahn type model. Our discretization is based on a prescribed energy-dissipation law in terms of the flow map. By employing a discrete energetic variational approach, this scheme preserves the variational structure of the original energy-dissipation law and is energy stable. Plentiful numerical tests show that, by choosing the initial value properly, our methods can produce the desired equilibrium and capture the thin diffuse interface with a small number of mesh points.

研究动机与目标

• 开发一种结构保持的数值格式，用于计算Allen-Cahn型相场模型中的平衡态。
• 克服欧拉方法在以最小计算成本解析薄扩散界面方面的局限性。
• 将拉格朗日方法扩展至$L^2$-梯度流，后者在拉格朗日映射上缺乏自然的变分结构。
• 通过在能量-耗散定律中引入正则化项，确保能量稳定性和网格质量。
• 展示该格式在以最少网格分辨率下捕捉尖锐界面并收敛至正确平衡态方面的有效性。

提出的方法

• 该方法基于以流映射表示的能量-耗散定律，确保变分结构的保持。
• 采用离散能量变分方法推导时间半隐式格式，使连续的能量-耗散定律在离散层面得以保持。
• 在耗散项中引入正则化项$\nu|\nabla\mathbf{u}|^2$，以防止网格缠结并确保稳定性。
• 系统通过拉格朗日映射$\mathbf{X}(\mathbf{X}_0, t)$进行表述，其中相场函数$\varphi$通过$\varphi_t + \nabla\varphi \cdot \mathbf{u} = 0$演化。
• 采用有限元法求解离散系统，使用一致质量矩阵$\mathbf{M}^e$和刚度矩阵$\mathbf{K}^e$，当$\nu > 0$时确保其正定性。
• 该方法具有自适应性，能在不需自适应网格加密的情况下将网格点集中于扩散界面处。

实验结果

研究问题

• RQ1 变分拉格朗日格式是否能在离散层面保持Allen-Cahn型相场模型的能量-耗散结构？
• RQ2 如何将拉格朗日方法适配至$L^2$-梯度流，后者在拉格朗日映射上缺乏自然的变分结构？
• RQ3 所提出的格式能否在最小网格分辨率下准确计算平衡态并避免网格缠结？
• RQ4 正则化项$\nu|\nabla\mathbf{u}|^2$在确保数值稳定性和网格质量方面起什么作用？
• RQ5 初始条件$\varphi_0$的选择如何影响拉格朗日模拟中收敛至正确平衡态的过程？

主要发现

• 所提出的格式具有能量稳定性，并通过离散能量变分公式保持了连续能量-耗散定律的变分结构。
• 在合理选择初始条件的情况下，该方法成功计算出Allen-Cahn模型的正确平衡态。
• 该格式仅用少量网格点即可捕捉薄的扩散界面，展现出极高的分辨率效率。
• 数值实验表明，该方法可避免网格缠结，并在长时间计算中保持良好的网格质量，而传统拉格朗日方法则无法做到。
• 正则化项$\nu|\nabla\mathbf{u}|^2$对确保离散耗散矩阵$\mathbf{D}$的正定性至关重要，从而防止数值崩溃。
• 一个初始条件$\varphi_0$不合适的失败案例表明，若$\varphi_0$不在$[-1,1]$范围内，拉格朗日方法可能无法收敛至正确平衡态，凸显了初始数据选择的重要性。