[论文解读] A Variational Principle for Radial Flows in Holographic theories

Ratindranath Akhoury|ArXiv.org|Jul 6, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文为全息理论中的径向流构建了一个坐标无关的变分原理，将径向坐标 ρ 视为重整化群参数。推导了在 d 维表面上传递作用量的流方程，重现了反 de Sitter 超引力中的已知结果，并建立了域壁的广义连接条件，从而实现对膜世界情景和全息中边界条件的系统研究。

ABSTRACT

We develop furthur the correspondence between a d+1 dimensional theory and a d dimensional one with the "radial" (d+1)th corodinate ρplaying the role of an evolution parameter. We discuss the evolution of an effective action defined on a d dimensional surface charactarized by ρby means of a new variational principle. The conditions under which the flow equations are valid are discussed in detail as is the choice of boundary conditions. It is explained how domain walls may be incorporated in the framework and some generalized junction conditions are obtained. The general principles are illustrated on the example of a supergravity theory on AdS_{d+1}.

研究动机与目标

• 开发一种通用的、坐标无关的变分原理，用于描述全息理论中径向坐标 ρ 上有效作用量的演化。
• 将体场的径向演化重新表述为最小化问题，将其与哈密顿-雅可比形式和重整化群流联系起来。
• 推导并分析流方程的边界条件，特别是在存在域壁或膜的情况下。
• 通过研究作用量的二阶导数无界的情况，建立流方程中经典近似的有效性判据。
• 推广域壁处的连接条件，并将其与膜上的诱导引力和宇宙学常数联系起来。

提出的方法

• 提出一种多阶段优化程序，通过在固定 ρ 的 d 维表面上对场进行变分，使有效作用量 S 最小化。
• 通过要求作用量积分在场变分下保持平稳，推导出关于 ρ 的一阶系统，从而得到流方程。
• 将该变分原理应用于 AdS_{d+1} 上的超引力，重现了先前工作中已知的流方程。
• 通过分析作用量的二阶偏导数何时变得无界，提出经典近似有效性的判据，导出一种类似雅可比的微分方程。
• 通过在膜两侧匹配有效作用量的法向导数，利用变分原理推导出域壁处的广义连接条件。
• 利用该框架计算膜上的诱导引力项，包括牛顿常数和高阶曲率修正，结果与 Randall-Sundrum 结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个变分原理，以描述全息理论中有效作用量在径向坐标上的演化？
• RQ2 当作用量的二阶导数变得显著时，径向流方程中经典近似的有效性条件是什么？
• RQ3 如何通过变分原理一致地将域壁或膜纳入径向流框架？
• RQ4 域壁处的广义连接条件是什么？它们如何与膜上的诱导引力和宇宙学常数相关联？
• RQ5 变分方法如何为全息重整化群流中的边界条件和对称性约束提供新颖的表述？

主要发现

• 该变分原理成功重现了先前工作（如哈密顿-雅可比框架）中推导出的流方程，并提供了坐标无关的表述。
• 当所推导的雅可比型方程的解变得无界时，流方程的经典近似失效，表明需要在作用量中引入二阶导数项。
• 域壁处的连接条件为 $ S_{,g_{\mu\nu}}^{+} - S_{,g_{\mu\nu}}^{-} = T \sqrt{g} \left( \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \right) $，由此导出 Randall-Sundrum 膜张力条件 $ T = -4(d-1)/r $。
• 膜上的诱导引力与 Randall-Sundrum 结果一致，牛顿常数为 $ G_d = (d-2)/(2r) $，高阶曲率修正由 $ \Phi_1, \Phi_2, \Phi_3 $ 计算得出。
• 在固定 ρ 的 AdS_{d+1} 的任意叶状结构上，有效作用量具有相同的局部结构，表明在 ρ 处的膜上诱导的引力等价于该径向截面上的有效作用量。
• 该形式化方法允许系统地推导出类似诺特定恒等式和对称性约束，为通过流方程研究边界共形场论开辟了新途径。