[论文解读] A variational representation of weak solutions for the pressureless Euler-Poisson equations

Eitan Tadmor, Dongming Wei|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种变分公式，显式构造了一维无压 Euler-Poisson 方程的全局弱解，将 Lax-Oleinik 公式推广至抛物型特征线。该方法通过在初始粒子位置上进行二次最小化，推导出吸引性（$\kappa<0$）与排斥性（$\kappa>0$）两种情形下的解，对 $\kappa \leq 0$ 恢复了黏性粒子解，对 $\kappa > 0$ 得到一种不同的解，并通过维度约化将结果推广至径向对称的多维系统。

ABSTRACT

We derive an explicit formula for global weak solutions of the one dimensional system of pressure-less Euler-Poisson equations. Our variational formulation is an extension of the well-known formula for entropy solutions of the scalar inviscid Burgers' equation: since the characteristics of the Euler-Poisson equations are parabolas, the representation of their weak solution takes the form of a "quadratic" version of the celebrated Lax-Oleinik variational formula. Three cases are considered. (i) The variational formula recovers the "sticky particle" solution in the attractive case; (ii) It represents a repulsive solution which is different than the one obtained by the sticky particle construction; and (iii) the result is further extended to the multi-dimensional Euler-Poisson system with radial symmetry.

研究动机与目标

• 构建一维无压 Euler-Poisson 系统在亚临界区域之外的全局弱解的显式、全局表示。
• 将无粘 Burgers 方程的变分原理推广至 Euler-Poisson 系统，其中由于 Poisson 势的存在，特征线为抛物型。
• 区分吸引性（$\\kappa<0$）与排斥性（$\\kappa>0$）情形下的解结构，表明后者与黏性粒子模型行为不同。
• 将一维变分解推广至具有径向对称性的多维 Euler-Poisson 系统。

提出的方法

• 通过最小化一个包含初始密度 $\\rho_0$、速度 $u_0$ 和电场 $E_0$ 的加权二次作用泛函来推导解。
• 最小化器 $y(x,t)$ 定义为所有使 $\int_0^y Q_{x,t}(s)\rho_0(s)\,ds$ 最小的 $y$ 的上确界，其中 $Q_{x,t}(s) = s + t u_0(s) + \frac{1}{2}\kappa E_0(s) t^2 - x$。
• 通过 $\rho(x,t) = \partial_x R(x,t)$，$\rho u(x,t) = \partial_x M(x,t)$ 重构弱解，其中 $R(x,t) = \int_0^{y(x,t)} \rho_0(s)\,ds$ 与 $M(x,t) = \int_0^{y(x,t)} \big(u_0(s) + \kappa E_0(s)t\big)\rho_0(s)\,ds$。
• 对于具有径向对称性的多维情形，系统被约化为关于径向变量 $r$ 的一维问题，其中变换变量为 $\varsigma(r,t) = r^{n-1}\rho(r,t)$ 与 $w(r,t)$（速度）。
• 电场对称定义为 $E(r,t) = \frac{1}{2}\big(\int_0^{r-} \varsigma(s,t)\,ds + \int_0^{r+} \varsigma(s,t)\,ds\big)$，以保持对称性并确保原点保持固定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一维无压 Euler-Poisson 系统的弱解构造一个全局变分公式，即使在亚临界区域之外也成立？
• RQ2 Poisson 势（$\\kappa \neq 0$）的存在如何改变特征线结构，相较于无粘 Burgers 方程？
• RQ3 对于 $\kappa > 0$（排斥情形）的变分解是否与黏性粒子解一致，还是本质不同？
• RQ4 能否将一维变分方法推广至具有径向对称性的多维系统？

主要发现

• 该变分公式成功构造了所有 $\kappa \in \mathbb{R}$ 情形下一维无压 Euler-Poisson 系统的全局弱解，涵盖吸引与排斥两种情形。
• 当 $\kappa \leq 0$ 时，解与黏性粒子模型一致，即粒子在碰撞后发生凝聚并保持粘连。
• 当 $\kappa > 0$ 时，解与黏性粒子模型不同，表明排斥力可防止永久凝聚。
• 通过在径向坐标上将系统约化为一维问题，并使用变换后的密度与速度变量，该方法可推广至具有径向对称性的多维 Euler-Poisson 系统。
• 由于电场的常数平移保持物理动力学不变，解在伽利略变换下保持不变。