[论文解读] A Variety Containing EMV-Algebras and Pierce Sheaves

Anatolij Dvurečenskij, Omid Zahiri|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2019

Advanced Algebra and Logic被引用 1

一句话总结

本文引入了wEMV-代数——一种通过添加导出二元运算 ⊖ 扩展EMV-代数的新种类代数，从而形成一个包含非种类类EMV-代数的种类。主要贡献在于证明wEMV种类是包含所有由EMV-代数导出的关联wEMV-代数的最小子种类，并为不具有上元素的恰当EMV-代数建立了Pierce层表示。

ABSTRACT

According to \cite{Dvz}, we know that the class of all EMV-algebras, $\mathsf{EMV}$, is not a variety, since it is not closed under the subalgebra operator. The main aim of this work is to find the least variety containing $\mathsf{EMV}$. For this reason, we introduced the variety $\mathsf{wEMV}$ of wEMV-algebras of type $(2,2,2,2,0)$ induced by some identities. We show that, adding a derived binary operation $\ominus$ to each EMV-algebra $(M;\vee,\wedge,\oplus,0)$, we extend its language, so that $(M;\vee,\wedge,\oplus,\ominus,0)$, called an associated wEMV-algebra, belongs to $\mathsf{wEMV}$. Then using the congruence relations induced by the prime ideals of a wEMV-algebra, we prove that each wEMV-algebra can be embedded into an associated wEMV-algebra. We show that $\mathsf{wEMV}$ is the least subvariety of the variety of wEMV-algebras containing $\mathsf{EMV}$. Finally, we study Pierce sheaves of proper EMV-algebras.

研究动机与目标

• 解决EMV-代数由于对子代数不封闭而无法构成种类的问题。
• 寻找包含EMV-代数类的最小种类，该类对子代数构造不封闭。
• 通过添加导出二元运算 ⊖ 扩展EMV-代数的语言，形成wEMV-代数。
• 证明每个wEMV-代数可嵌入到一个具有上元素的关联wEMV-代数中。
• 利用素理想和同余关系，为恰当EMV-代数（无上元素者）构建Pierce层表示。

提出的方法

• 引入类型为(2,2,2,2,0)的wEMV-代数，由一组等式定义，构成一个种类。
• 通过添加导出二元运算 ⊖ 扩展每个EMV-代数的语言，构造关联的wEMV-代数。
• 利用素理想和诱导的同余关系，将任意wEMV-代数嵌入到关联的wEMV-代数中。
• 通过嵌入定理证明wEMV种类是包含所有关联wEMV-代数的最小子种类。
• 对于恰当EMV-代数M，利用素理想的空间X = P(I(M))，构造Pierce层(E, π, X)。
• 证明该层结构确保运算(∨, ∧, ⊕)的连续性，且全局截面同构于M的EMV-代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定EMV-代数对子代数不封闭，包含EMV-代数类的最小种类是什么？
• RQ2 如何向EMV-代数添加导出二元运算 ⊖ 以形成包含它们的种类？
• RQ3 每个wEMV-代数是否可嵌入到一个具有上元素的关联wEMV-代数中？
• RQ4 能否使用素理想为恰当EMV-代数（无上元素者）建立层论表示？
• RQ5 在何种条件下，半单或Stone EMV-代数可嵌入到有界EMV-代数的层中？

主要发现

• wEMV-代数的种类wEMV是包含所有由EMV-代数导出的关联wEMV-代数的wEMV-代数种类的最小子种类。
• 每个wEMV-代数可嵌入到一个具有上元素的关联wEMV-代数中，且在其中作为极大理想出现。
• 每个wEMV-代数同构于其最大关联wEMV-子代数与严格wEMV-子代数的直积。
• wEMV-代数的子种类类是可数无限的，且其等式基完全由其确定。
• 恰当EMV-代数（无上元素者）具有Pierce层表示，其中层为Hausdorff布尔层，纤维为MV-链。
• 每个Stone EMV-代数可嵌入到一个Hausdorff布尔层的全局截面MV-代数中，其纤维为MV-链。