[论文解读] A varifold perspective on the $p$-elastic energy of planar sets

Marco Pozzetta|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于变流形的框架，用于定义和平面集合的 $p$-弹性能量，使非光滑边界（如自相交或有角的边界）也能具有有限能量。通过利用曲率变流形表征集合，并建立内在的 $L^1$-松弛，该框架将经典能量定义扩展至包含不规则集合，证明了极小化子的存在性，并提供了具有正 $χ^1$-测度的非可求长边界部分的有限能量集合示例。

ABSTRACT

Under suitable regularity assumptions the $p$-elastic energy of a planar set $E\subset\mathbb{R}^2$ is defined to be $\int_{\partial E} 1 + |k_{\partial E}|^p \,\, d\mathcal{H}^1,$ where $k_{\partial E}$ is the curvature of the boundary $\partial E$. In this work we use a varifold approach to investigate this energy, that can be well defined on varifolds with curvature. First we show new tools for the study of 1-dimensional curvature varifolds, such as existence and uniform bounds on the density of varifolds with finite elastic energy. Then we characterize a new notion of $L^1$-relaxation of this energy by extending the definition of regular sets by an intrinsic varifold perspective, also comparing this relaxation with the classical ones. Finally we discuss an application to the inpainting problem, examples and qualitative properties of sets with finite relaxed energy.

研究动机与目标

• 为具有有限 $p$-弹性能量的平面集合定义一种新的、与参数化无关的内在正则性概念。
• 将经典 $L^1$-松弛的 $p$-弹性能量扩展至具有非光滑或非单射边界的集合。
• 利用曲率变流形表征松弛能量，并建立变流形密度的存在性与一致有界性。
• 将新松弛框架与 [BeMu04, BeMu07] 中的经典松弛进行比较，证明其在捕捉非正则集合能量方面的优越性。
• 将该框架应用于修补问题，并构造出尽管存在奇点或不可求长边界部分，但具有有限松弛能量的集合示例。

提出的方法

• 通过曲率变流形 $V_E = \mathbf{v}(\mathcal{F}E, 1)$ 定义 $p$-弹性能量 $\mathcal{F}_p(E)$，其中 $\mathcal{F}E$ 是有限全变差集合的约化边界。
• 引入弹性变流形作为整值可求长变流形 $V = \sum_{i=1}^N (\gamma_i)_{\sharp}(\mathbf{v}(S^1,1))$，其中 $\gamma_i: S^1 \to \mathbb{R}^2$ 为 $C^2$ 浸入映射，使能量可在非单射曲线上计算。
• 利用几何测度论工具，证明具有有限弹性能量的变流形的密度存在且具有一致有界性。
• 通过变流形以内在方式定义 $\mathcal{F}_p$ 的 $L^1$-松弛，避免依赖光滑集合的逼近序列。
• 证明该新松弛在正则集合上与 [BeMu04, BeMu07] 中的经典松弛一致，但可扩展至如自相交或有角的不规则集合。
• 利用最小化运动和变流形收敛性，为 $p$-弹性能量在一大类平面集合上提出广义梯度流。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过内在几何框架，为具有非光滑或自相交边界的平面集合有意义地定义 $p$-弹性能量？
• RQ2 当经典松弛使能量为无穷大时，$p$-弹性能量的 $L^1$-松弛在何种情况下表现？
• RQ3 曲率变流形在表征经典 $C^2$ 边界之外的有限能量集合中起何作用？
• RQ4 新松弛框架能否捕捉具有正 $χ^1$-测度的非可求长边界部分的能量？
• RQ5 具有有限松弛 $p$-弹性能量的集合的定性性质是什么，尤其在修补和几何演化背景下？

主要发现

• 本文证明，具有自相交或非单射边界的集合（如图1所示）在新的基于变流形的定义下，其 $p$-弹性能量可为有限值。
• 证明了具有有限 $p$-弹性能量的变流形具有统一的密度有界性，确保了紧致性与下半连续性。
• $\mathcal{F}_p$ 的 $L^1$-松弛通过变流形以内在方式表征，且在正则集合上与经典松弛等价。
• 构造了示例，使得 $\overline{\mathcal{F}_p}(E) < \infty$，但 $\mathcal{H}^1(\partial E \setminus \mathcal{F}E) > 0$，证明了该框架的鲁棒性。
• 构造了一个集合 $E$，其 $\partial E$ 由 $C^\infty$ 浸入参数化，但 $\mathcal{H}^1(\partial E \setminus \mathcal{F}E) > 0$，而 $\overline{\mathcal{F}_p}(E) < \infty$，表明该松弛能捕捉不可求长部分。
• 该框架使得可通过最小化运动定义 $p$-弹性能量的广义梯度流，将理论扩展至一大类非光滑集合。