[论文解读] A vector-valued almost sure invariance principle for random hyperbolic and piecewise-expanding maps

Davor Dragičević, Yeor Hafouta|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过受扰的谱方法（受Gouëzel启发）建立了一类随机双曲映射及逐段扩张映射（包括Anosov微分同胚的扰动和周期性洛伦兹气体中的散射映射）的淬灭向量值几乎必然不变性原理（ASIP），并利用鞅技巧对淬灭标量值动力系统的ASIP实现了更优的误差估计。关键贡献在于通过鞅方法对淬灭标量值ASIP实现了更优的误差估计。

ABSTRACT

We obtain a quenched vector-valued almost sure invariance principle (ASIP) for large classes of random dynamical systems exhibiting some degree of hyperbolicity. More precisely, we consider random perturbations of a fixed Anosov diffeomorphism as well as random perturbations of a billiard map associated to the periodic Lorentz gas. We also deal with wide classes of piecewise expanding maps both in one and higher dimensions. Our proofs are based on a modification of the spectral method for establishing ASIP introduced by S. Gouezel. Finally, by using martingale techniques, we revisit the quenched scalar-valued ASIP for random piecewise-expanding dynamics and improve the known error estimates.

研究动机与目标

• 建立具有双曲结构的随机动力系统中淬灭向量值几乎必然不变性原理（ASIP）
• 将ASIP结果推广至Anosov微分同胚的随机扰动以及周期性洛伦兹气体中的散射映射
• 在随机扰动下，将ASIP推广至一维及更高维的广泛类别的逐段扩张映射
• 通过鞅技巧改进现有淬灭标量值ASIP中的误差估计
• 适配并改进Gouëzel的谱方法，以在淬灭设定下证明ASIP

提出的方法

• 将S. Gouëzel的谱方法适配于具有双曲性的随机动力系统中，以证明淬灭向量值ASIP
• 将改进的谱方法应用于Anosov微分同胚的随机扰动以及周期性洛伦兹气体散射映射
• 利用鞅技巧重新推导并改进逐段扩张映射中淬灭标量值ASIP的误差估计
• 通过控制过程与布朗运动在淬灭意义下的耦合关系，建立几乎必然不变性
• 应用泛函分析工具，控制随机动力系统设定下的谱间隙与相关性衰减
• 采用耦合论证，将淬灭几乎必然收敛性质传递至不变性原理

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为包括Anosov微分同胚扰动在内的随机双曲映射建立淬灭向量值几乎必然不变性原理？
• RQ2 Gouëzel的改进谱方法是否可推广至具有双曲结构的随机动力系统中的淬灭ASIP？
• RQ3 能否利用鞅技巧改进随机逐段扩张映射中淬灭标量值ASIP的误差估计？
• RQ4 ASIP是否对周期性洛伦兹气体散射映射的随机扰动成立？
• RQ5 随机逐段扩张系统中淬灭ASIP的最优误差率是什么？

主要发现

• 成功为Anosov微分同胚的随机扰动建立了淬灭向量值ASIP，将ASIP结果扩展至该类系统
• 该方法成功推广至周期性洛伦兹气体散射映射的随机扰动，证实了该物理模型中的ASIP
• 该方法适用于在随机扰动下的一维及更高维广泛类别的逐段扩张映射
• 鞅技巧在随机逐段扩张动力系统的淬灭标量值ASIP中实现了更优的误差估计
• 改进的谱方法使得在非均匀双曲性与随机噪声设定下证明淬灭ASIP成为可能
• 结果表明，该谱方法的适配在随机动力系统中淬灭不变性原理方面具有强鲁棒性