[论文解读] A very accurate method to approximate discontinuous functions with a finite number of discontinuities

Eduardo Stella, Celso L. Ladera+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 12被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种高度精确的解析方法，通过使用有理函数参数的双曲正切函数作为平滑连接函数，对具有有限个间断点的函数进行近似。该方法避免了吉布斯现象，在间断点附近仍能达到高达10⁻¹⁴的相对误差，通过求解线性系统来确定由分段函数定义的系数，从而在跳跃点实现精确收敛。

ABSTRACT

A simple and very accurate method to approximate a function with a finite number of discontinuities is presented. This method relies on hyperbolic tangent functions of rational arguments as connecting functions at the discontinuities, each argument being the reciprocal of Newton binomials that depend on the abscissae that define the domain of the discontinuous function and upon the abscissae of discontinuities. Our approximants take the form of linear combinations of such hyperbolic tangent functions with coefficients that are obtained by solving a linear system of inhomogeneous equations whose righthand sides are the partition functions that define the given discontinuous function. These approximants are analytic, and being free from the Gibbs phenomenon certainly converge at the discontinuity points much better than other known approximants to discontinuous functions, typical relative errors being of the order of 10-14 even when as close as 10-12 to the discontinuity points. Moreover, they can be readily scaled to larger intervals. Our method is here illustrated with a representative set of discontinuous mathematical physics functions, and by studying the dynamics of an oscillator subjected to a discontinuous force, but it can be applied to important cases of discontinuous functions in physics, mathematics, engineering and physical chemistry.

研究动机与目标

• 开发一种能够精确近似具有有限个跳跃间断点的不连续函数的方法。
• 消除传统基于傅里叶的近似方法在间断点附近常见的吉布斯现象。
• 提供在间断点处可信赖收敛的解析近似表达式。
• 实现在更大区间内近似而不损失精度的可扩展性。
• 提供一种实用且数值稳定的近似方法，适用于物理、工程和数学建模领域。

提出的方法

• 该方法将近似表达式构造为由牛顿二项式导出的有理函数参数双曲正切函数的线性组合。
• 每个双曲正切函数以间断点为中心，并由依赖于定义域边界和间断点位置的牛顿二项式的倒数调制。
• 线性组合中的系数通过求解非齐次线性方程组确定，右侧项由定义不连续函数的分段函数给出。
• 所得近似表达式在整个定义域内均为解析且光滑，包括在间断点处。
• 该方法确保在间断点处实现高精度收敛，即使在距离跳跃点仅10⁻¹²时亦然。
• 该公式可轻松扩展至更大区间，同时保持精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有有限跳跃的不连续函数构造出在间断点处收敛准确的平滑解析近似？
• RQ2 如何在近似具有跳跃间断的函数时避免吉布斯现象？
• RQ3 何种函数形式与参数化方式可在间断点附近实现高精度近似？
• RQ4 该方法能否推广至具有多个间断点的函数，并扩展至更大定义域？
• RQ5 在接近间断点时，可实现的相对误差水平是多少？

主要发现

• 即使在距离间断点仅10⁻¹²时，该方法仍能达到最低至10⁻¹⁴的相对误差，展现出卓越的数值精度。
• 近似表达式为解析函数，并在间断点处收敛，这与传统傅里叶级数表现出的吉布斯现象形成鲜明对比。
• 采用有理函数参数的双曲正切函数可实现跳跃处的平滑过渡，同时保持高精度。
• 用于系数求解的线性方程组条件良好且数值稳定，确保计算的可靠性。
• 该方法具有可扩展性，适用于数学物理、工程和物理化学中具有不连续行为的函数。
• 通过实例验证，包括在不连续力作用下的振子系统，证实了该方法在动力系统中的鲁棒性与高精度。