[论文解读] A Virtual Element Method for elastic and inelastic problems on polytope meshes
本文提出了一种在一般多面体网格上求解非线性弹性和非弹性问题的虚拟元方法（VEM），采用低阶位移近似和稳定化梯度重构，使本构关系在每个单元内仅需应用一次。该方法确保了计算效率，可处理任意多边形/多面体单元，并能无缝集成标准黑箱本构模型，在2D数值实验中对非线性弹性与带硬化效应的冯·米塞斯塑性问题均表现出最优收敛性。
We present a Virtual Element Method (VEM) for possibly nonlinear elastic and inelastic problems, mainly focusing on a small deformation regime. The numerical scheme is based on a low-order approximation of the displacement field, as well as a suitable treatment of the displacement gradient. The proposed method allows for general polygonal and polyhedral meshes, it is efficient in terms of number of applications of the constitutive law, and it can make use of any standard black-box constitutive law algorithm. Some theoretical results have been developed for the elastic case. Several numerical results within the 2D setting are presented, and a brief discussion on the extension to large deformation problems is included.
研究动机与目标
- 开发一种用于小变形范围内非线性弹性和非弹性问题的虚拟元方法（VEM）。
- 实现无需显式构造基函数即可使用一般多边形和多面体网格。
- 最小化每个单元的本构关系求值次数，实现与单点积分相当的计算效率。
- 允许与标准黑箱本构算法无缝集成，例如商业FEM软件中所用的算法。
- 在本构关系满足稳定性和连续性假设的前提下，建立弹性情况下的理论收敛性。
提出的方法
- 该方法在每个多面体单元上采用低阶多项式对位移场进行近似。
- 引入基于局部投影的位移梯度重构方法以计算应变，避免显式计算基函数。
- 在变分形式中添加稳定化项以控制锁定和沙漏模式，其来源于线性问题标准VEM方法的推导。
- 通过仅使用自由度和投影梯度，实现弱形式的逐单元组装，确保一致性和稳定性。
- 每个迭代中仅对每个单元应用一次本构关系，利用重构梯度，从而实现与现有工程软件的集成。
- 通过材料描述和第一皮奥拉-基尔霍夫应力张量，将该公式扩展至大变形问题，尽管仅初步探索。
实验结果
研究问题
- RQ1虚拟元方法能否有效扩展至在多面体网格上使用一般本构律的非线性弹性问题？
- RQ2如何构建VEM以确保每个单元仅应用一次本构关系，从而保证计算效率？
- RQ3在标准稳定性和连续性假设下，所提出的VEM格式是否对非线性弹性问题实现最优收敛率？
- RQ4VEM框架能否自然地集成有限元软件中常用的标准化黑箱本构模型？
- RQ5在非结构化多边形网格上，VEM在如带等向硬化效应的冯·米塞斯塑性等非弹性问题中的表现如何？
主要发现
- 在本构关系满足连续性和稳定性假设的前提下，VEM对非线性弹性问题实现了最优收敛率。
- 在2D三角形、四边形和六边形Voronoi网格上的数值结果表明，解收敛至参考解，随着网格加密，点P = (1,1)处的位移在x方向趋近于1.1018 m。
- 对于带硬化的冯·米塞斯塑性问题，该方法成功捕捉了非线性响应，并表现出网格收敛性，计算位移趋于参考解。
- 方法对网格畸变和单元类型具有鲁棒性，三角形、四边形和Voronoi网格均表现出一致的收敛性。
- 不同网格类型（三角形、正方形、六边形）的变形形状视觉上合理，并收敛至相似构型，表明良好的几何灵活性。
- 初步将方法扩展至大变形问题（采用neo-Hookean超弹性模型）表明其可行性，方法可适配材料描述和第一皮奥拉-基尔霍夫应力张量公式。
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