[论文解读] A Virtual Finite Element Method for Two Dimensional Maxwell Interface Problems with a Background Unfitted Mesh

Shuhao Cao, Long Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 51被引用 33

一句话总结

本文提出了一种新颖的虚拟元方法（VEM），用于在非结构化、背景非拟合的网格上求解二维麦克斯韦界面问题。通过在满足最大角条件的虚拟三角剖分上引入一种新的 H(curl)-符合虚拟空间，该方法实现了与网格各向异性无关的第一阶最优收敛性，克服了低正则性和非符合离散化带来的挑战。

ABSTRACT

A virtual element method (VEM) with the first order optimal convergence order is developed for solving two-dimensional Maxwell interface problems on a special class of polygonal meshes that are cut by the interface from a background unfitted mesh. A novel virtual space is introduced on a virtual triangulation of the polygonal mesh satisfying a maximum angle condition, which shares exactly the same degrees of freedom as the usual H(curl)-conforming virtual space. This new virtual space serves as the key to prove that the optimal error bounds of the VEM are independent of high aspect ratio of the possible anisotropic polygonal mesh near the interface.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的数值方法，用于求解具有界面处系数不连续的二维麦克斯韦界面问题。
• 解决在非结构化、非拟合多边形网格上实现最优收敛性的挑战，这些网格在界面附近可能变得高度各向异性。
• 构建一种保持 H(curl)-符合性与自由度的虚拟元空间，同时确保误差界与单元形状无关。
• 建立对网格各向异性和系数跃迁具有鲁棒性的先验误差估计。

提出的方法

• 在每个多边形单元的虚拟三角剖分上，构造一种新的虚拟元空间，该空间是标准 Nédélec 空间的一个子空间，且满足最大角条件。
• 该虚拟空间与标准 H(curl)-符合 VEM 空间具有相同的自由度，从而确保与现有 VEM 格式兼容。
• 该方法采用对称变分格式求解 H(curl)-椭圆界面问题，并引入稳定项以处理非符合逼近。
• 采用一种新颖的分析技术，利用由自由度定义的离散调和延拓来控制边界项，从而获得鲁棒的误差估计。
• 该分析依赖于迹不等式、Poincaré 型估计以及多边形单元形状规则子三角形上的逼近性质。
• 通过在圆形界面问题上进行数值验证，采用被界面切割的背景三角形网格，测试了不同材料参数下的方法性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟元方法是否能在非拟合、各向异性的多边形网格上实现麦克斯韦界面问题的最优收敛性？
• RQ2 如何在对单元形状畸变具有鲁棒性的虚拟空间中保持 H(curl)-符合性与自由度？
• RQ3 网格各向异性对具有低正则性解的界面问题的 VEM 收敛率有何影响？
• RQ4 通过一种新颖的虚拟空间构造，能否使误差分析独立于界面单元的长宽比？

主要发现

• 所提出的 VEM 在 H(curl) 范数下实现了第一阶最优收敛性，数值实验确认 L2 误差与旋度误差的收敛率均约为 1.00。
• 即使界面单元变得高度各向异性，该方法仍保持最优收敛性，所有测试网格细化下的收敛率保持一致。
• 误差估计与多边形单元的长宽比无关，这是非拟合网格方法的一项关键贡献。
• 数值结果表明，该方法在不同材料参数（α+ = 10 或 100，β+ = 10 或 100）下均表现鲁棒，所有情况下收敛率均保持稳定。
• 先验误差分析证明，该方法的收敛率仅依赖于精确解的正则性与网格尺寸，而不依赖于单元形状或各向异性。