[论文解读] A virtual fundamental class construction for the moduli space of torus equivariant morphisms

Andrei Mustaţǎ|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过使用与GIT商及其翻转相关的Deligne-Mumford堆的逆极限，为从稳定toric簇到光滑射影簇 $X$ 的 $({\mathbb{C}}^*)^n$-等变态射的模空间构造了一个虚拟基本类。该构造在查沃群中产生了一个维度为 $\dim X - n$ 的类，该类在 $X$ 的等变形下保持不变，并且在 $n=1$ 的情形下，通过与稳定映射模空间的比较，与现有定义一致。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective variety with the action of the n dimensional torus. The article describes the moduli space of torus equivariant morphisms from stable toric varieties into X as the inverse limit of the GIT quotients of X and their flips when these spaces are enhanced with a naturally associated Deligne-Mumford stack structure. This description is used for constructing a class in the Chow group of the moduli space of dimension dim(X)-n which is invariant to equivariant deformations of X.

研究动机与目标

• 为从稳定toric簇到光滑射影簇 $X$ 的 $({\mathbb{C}}^*)^n$-等变态射的模空间定义一个虚拟基本类，即使在不存在完美障碍理论的情况下。
• 在torus作用下，将此模空间的几何实现为与GIT商及其翻转相关的Deligne-Mumford堆的逆极限。
• 构造一个维度为 $\dim X - n$ 的查沃类，该类在 $X$ 的等变形下保持不变，确保函子性并兼容已知情形。
• 提供一个可推广至约化群作用的框架，潜在应用于格罗莫夫-威滕不变量和稳定映射模空间。

提出的方法

• 将模空间实现为与 $X$ 的 $({\mathbb{C}}^*)^n$-作用下的GIT商及其翻转相关的Deligne-Mumford堆的逆极限。
• 通过 $X$ 上的 genus-zero 稳定映射模空间，构造逆极限上的普遍族，将等变态射与稳定映射理论联系起来。
• 将相对内在正常锥 $\mathcal{C}_Z$ 嵌入上同调层 $h^1/h^0(R^f\pi_* e^*T_Z)$，从而实现虚拟类的构造。
• 通过涉及切丛的直接像的固定部分的态射，将虚拟类从 $[BT]$-堆的逆极限拉回。
• 为GIT商及其翻转的子范畴定义了典型环，并通过命题5.2建立了拉回与上推映射。
• 验证该构造在 $n=1$ 情形下与标准虚拟基本类一致，如定理6.3所示。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使在不存在完美障碍理论的情况下，能否为到光滑射影簇 $X$ 的 $({\mathbb{C}}^*)^n$-等变态射的模空间构造一个虚拟基本类？
• RQ2 与GIT商及其翻转相关的Deligne-Mumford堆的逆极限如何与等变态射的模空间相关联？
• RQ3 所构造的虚拟类在 $X$ 的等变形下是否正确变换？当 $n=1$ 时，它是否与稳定映射模空间中的虚拟类兼容？
• RQ4 该框架能否推广至除torus外的约化群作用（如 $SL_{k+1}$）？对稳定映射模空间有何影响？
• RQ5 GIT商的逆极限中典型环的结构是什么？它们在拉回与上推下的行为如何？

主要发现

• 在自然堆结构下，$({\mathbb{C}}^*)^n$-等变态射的模空间同构于与GIT商及其翻转相关的Deligne-Mumford堆的逆极限。
• 在查沃群中构造了一个维度为 $\dim X - n$ 的虚拟基本类，该类在 $X$ 的等变形下保持不变。
• 在 $n=1$ 的情形下，该虚拟类与稳定映射模空间中的标准虚拟基本类一致，如定理6.3所验证。
• 相对内在正常锥 $\mathcal{C}_Z$ 嵌入到 $h^1/h^0(R^f\pi_* e^*T_Z)$ 中，使得虚拟类可从基堆 $\underleftarrow{\lim} [BT]$ 拉回。
• 在逆极限上的典型环允许拉回与上推映射，如命题5.2所确立，且备注5.5中提供了计算算法。
• 该构造暗示了一条路径，可通过类似的逆极限技术，为约化群作用（如 $SL_{k+1}$ 作用于齐次多项式空间）定义稳定映射模空间。