[论文解读] A viscosity framework for computing Pogorelov solutions of the Monge-Ampere equation

Jean‐David Benamou, Brittany D. Froese|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种粘性框架，用于在最优传输问题中计算具有原子测度的Monge-Ampère方程的Pogorelov解，采用混合粘性-Aleksandrov公式化方法，并利用单边方向导数实现一致且单调的有限差分离散化。该方法成功处理了传统粘性求解器失效的Dirac测度情形，展示了稳健的数值收敛性。

ABSTRACT

We consider the Monge-Kantorovich optimal transportation problem between two measures, one of which is a weighted sum of Diracs. This problem is traditionally solved using expensive geometric methods. It can also be reformulated as an elliptic partial differential equation known as the Monge-Ampere equation. However, existing numerical methods for this non-linear PDE require the measures to have finite density. We introduce a new formulation that couples the viscosity and Aleksandrov solution definitions and show that it is equivalent to the original problem. Moreover, we describe a local reformulation of the subgradient measure at the Diracs, which makes use of one-sided directional derivatives. This leads to a consistent, monotone discretisation of the equation. Computational results demonstrate the correctness of this scheme when methods designed for conventional viscosity solutions fail.

研究动机与目标

• 为解决当一测度为加权Dirac质量之和时Monge-Ampère方程的数值挑战，该情形下标准粘性方法因缺乏密度而失效。
• 通过引入混合粘性-Aleksandrov公式化方法，弥合粘性解与Aleksandrov（广义）解之间的差距，确保方法的一致性与单调性。
• 提出基于单边方向导数的Dirac点处次梯度测度的局部表征，实现Monge-Ampère算子的精确离散化。
• 构建一种既一致又单调的有限差分格式，确保在Pogorelov意义下广义解的收敛性。

提出的方法

• 本文提出Monge-Ampère方程的混合粘性-Aleksandrov公式化方法，结合粘性解理论与Aleksandrov的广义解概念，以处理原子测度。
• 通过单边方向导数提出Dirac点处次梯度测度的局部表征，实现半离散最优传输问题中单元体积的计算。
• 通过在非均匀网格上使用宽模板的中心差分近似二阶方向导数，构建一致且单调的有限差分离散化。
• 利用迎风格式在域边界层近似Hamilton-Jacobi方程的边界条件，通过Legendre-Fenchel变换表达符号距离函数。
• 通过引入校正项的改进离散Monge-Ampère算子，强制执行均值为零约束，以保持一致性和单调性。
• 对于非恒定密度，通过预先计算密度在极坐标下的反导数，并利用其计算Dirac点处的局部测度，实现方法的扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一测度为Dirac质量之和时，是否可以构建基于粘性的Monge-Ampère方程数值框架，尽管缺乏密度？
• RQ2 如何利用方向导数在局部表征Dirac点处的次梯度测度，以实现精确的离散化？
• RQ3 是否能够设计一种既一致又单调的有限差分格式，用于Monge-Ampère方程的广义（Pogorelov）解？
• RQ4 所提方法在精度与收敛性方面与现有方法（如Pogorelov算法）相比，数值表现如何？
• RQ5 该框架能否扩展至源测度中具有非均匀与非恒定密度的情形？

主要发现

• 所提出的粘性-Aleksandrov公式化在Pogorelov意义下与原始最优传输问题数学等价，确保了解的正确性。
• 有限差分格式具有一致性与单调性，确保在适当条件下收敛至唯一的广义解。
• 计算结果表明，即使在传统粘性求解器失效的情况下，该方法仍能正确计算Pogorelov解，尤其在存在Dirac测度时表现优异。
• 在Dirac点使用单边方向导数，可实现运输单元体积的精确计算，而无需对单元进行几何重构。
• 通过在极坐标下引入预先计算的密度反导数，方法在非恒定密度下仍保持鲁棒性。
• 通过混合Aleksandrov-粘性解框架，实现了对一般密度与背景测度的扩展，同时保持了一致性与单调性。