[论文解读] A viscosity solution approach to the Monge-Ampere formulation of the Optimal Transportation Problem

Jean‐David Benamou, Brittany D. Froese+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用 12

一句话总结

本论文提出了一种用于通过带有状态约束的Monge-Ampère方程求解最优传输问题的收敛有限差分方法，通过目标域的带符号距离函数将第二类边界值问题重新表述为基于Hamilton-Jacobi方程的形式。该方法利用单调格式与过滤格式理论，确保收敛至唯一的粘性解，从而实现对具有广义凸目标域的OT问题的鲁棒数值求解。

ABSTRACT

In this work we present a numerical method for the Optimal Mass Transportation problem. Optimal Mass Transportation (OT) is an active research field in mathematics.It has recently led to significant theoretical results as well as applications in diverse areas. Numerical solution techniques for the OT problem remain underdeveloped. The solution is obtained by solving the second boundary value problem for the MA equation, a fully nonlinear elliptic partial differential equation (PDE). Instead of standard boundary conditions the problem has global state constraints. These are reformulated as a tractable local PDE. We give a proof of convergence of the numerical method, using the theory of viscosity solutions. Details of the implementation and a fast solution method are provided in the companion paper arXiv:1208.4870.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解具有广义凸目标域的最优传输问题的数值收敛方法。
• 解决Monge-Ampère方程中缺乏标准边界条件的状态约束问题。
• 利用目标域的带符号距离函数重新表述第二类边界值问题，实现局部且隐式的边界处理。
• 利用粘性解理论与过滤格式理论，证明有限差分离散化的收敛性。
• 为高效求解最优传输问题（包括非凸与退化情形）提供理论基础。

提出的方法

• 将最优传输边界条件∇u(X) = Y重述为涉及带符号距离函数d(∇u(x), Y) = 0的Hamilton-Jacobi方程，定义于∂X上。
• 利用距离函数的凸性，确保Hamilton-Jacobi边界条件的凸性，从而保持解u的凸性。
• 采用单调有限差分格式对Monge-Ampère PDE及边界Hamilton-Jacobi方程进行离散化，依赖倾斜性条件构造稳定格式。
• 通过结合PDE与边界条件构造近似椭圆有限差分格式，利用过滤格式理论确保收敛性。
• 借助粘性解理论与Barles-Souganidis框架，证明离散解收敛至唯一的粘性解。
• 通过快速牛顿求解器实现该格式，如附录论文[6]中详细所述，以实现高效计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 Monge-Ampère方程的第二类边界值问题能否被重述为一个局部PDE系统，从而实现稳定的数值求解？
• RQ2 基于带符号距离函数与Hamilton-Jacobi边界条件的有限差分格式，是否能收敛至最优传输问题的粘性解？
• RQ3 如何将单调与过滤格式应用于具有状态约束的完全非线性椭圆PDE，以确保收敛性？
• RQ4 对于具有光滑与非光滑目标域的最优传输问题，该数值方法的收敛速率如何？
• RQ5 该方法能否处理非凸目标与退化情形（如不连通的源域）？

主要发现

• 数值结果表明，该方法在源域与目标域的离散化尺寸上均达到一阶收敛。
• 对于从一个椭圆到另一个椭圆的映射，最大误差从32×32网格分辨率下的0.1163降低至362×362分辨率下的0.0056，证实了收敛性。
• 即使在不连通的源域（如两个半圆映射至一个圆）情况下，该方法仍能成功计算最优映射，且在高分辨率下最大误差稳定在约0.0039。
• 对于非凸目标与非光滑密度，该格式保持鲁棒且收敛，如对包含直线与曲线边的混合几何目标的计算映射所示。
• 通过过滤格式理论建立了收敛性证明，将Barles-Souganidis框架扩展至通过Hamilton-Jacobi重述处理状态约束的情形。
• 该方法能够准确求解具有广义凸支撑与密度的最优传输问题，包括标准PDE方法因退化或不连续性而失效的情形。