[论文解读] A visible factor of the special L-value

Amod Agashé|ArXiv.org|Oct 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文为附着于新形式 f 的 J₀(N) 商 A 的特殊 L-值与实周期之比提供了一个公式，将其表达为一个有理数。该公式识别出分子中一个与 f 及正解析秩特征形式之间同余关系相关的整数因子，并利用可见性理论证明：若奇素数 q 整除该因子，则 q 必整除 A 的 Ш群阶或其一个成分群——为 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想的第二部分提供了理论支持。

ABSTRACT

Let~$A$ be a quotient of $J_0(N)$ associated to a newform $f$ such that the special $L$-value of $A$ (at $s=1$) is non-zero. We give a formula for the ratio of the special $L$-value to the real period of $A$ that expresses this ratio as a rational number. We extract an integer factor from the numerator of this formula; this factor is non-trivial in general and is related to certain congruences of $f$ with eigenforms of positive analytic rank. We use the techniques of visibility to show that, under certain hypotheses (which includes the first part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture on rank), if an odd prime $q$ divides this factor, then $q$ divides either the order of the Shafarevich-Tate group or the order of a component group of $A$. Suppose $p$ is an odd prime such that $p^2$ does not divide $N$, $p$ does not divide the order of the rational torsion subgroup of $A$, and $f$ is congruent modulo a prime ideal over $p$ to an eigenform whose associated abelian variety has positive Mordell-Weil rank. Then we show that $p$ divides the factor mentioned above; in particular, $p$ divides the numerator of the ratio of the special $L$-value to the real period of $A$. Both of these results are as implied by the second part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, and thus provide theoretical evidence towards the conjecture.

研究动机与目标

• 理解与新形式相关联的阿贝尔簇 A_f 的特殊 L-值与实周期之比的分子的算术意义。
• 识别出该比值中源于新形式 f 与正 Mordell-Weil 秩特征形式之间同余关系的整数因子。
• 利用可见性理论，在一定假设下证明：若奇素数 q 整除该因子，则 q 必整除 |Ш(A_f)| 或 A_f 的某个成分群阶。
• 通过将可见性与 Ш(A_f) 的猜想阶联系起来，为 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想的第二部分提供理论证据。

提出的方法

• 利用模参数化理论与 J₀(N) 的结构，推导出 L(A_f,1)/Ω_A_f 为有理数的公式。
• 识别出该有理比值分子中的一个可见整数因子，该因子与 f 及正解析秩特征形式之间的同余关系相关。
• 应用可见性理论，证明若奇素数 q 整除该因子，则在 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想第一部分（关于秩）成立的假设下，q 必整除 |Ш(A_f)| 或某个 c_p(A_f)。
• 利用 ℓ-进 Tate 模上的 Frobenius 作用与 Galois 上同调，将成分群阶与 p 处 Euler 因子的 p-进赋值联系起来。
• 通过利用 H⁰(ℚ_ℓ, V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p) 与 T_ℓ^I_p 上 (1 - Frob_p^{-1}) 的余核之间的同构，计算 P_p(p^{-1}) 的 p-进赋值。
• 通过涉及 Frobenius 固定点的 Galois 上同调论证，建立成分群阶的 p-外部分与 Euler 因子 P_p(p^{-1}) 的赋值相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 L(A_f,1)/Ω_A_f 的分子能否分解为一个反映新形式 f 算术同余关系的整数？
• RQ2 若奇素数 q 整除该整数因子，是否 q 必整除 Ш(A_f) 的阶或 A_f 的某个成分群阶？
• RQ3 可见性理论是否意味着当 f 与正 Mordell-Weil 秩特征形式同余时，Ш(A_f) 的猜想阶非平凡？
• RQ4 成分群阶 c_p(A_f) 与 Euler 因子 P_p(p^{-1}) 的 p-进赋值之间有何关系？

主要发现

• 比值 L(A_f,1)/Ω_A_f 是一个有理数，其分子包含一个在一般情况下非平凡的整数因子，该因子与 f 及正解析秩特征形式之间的同余关系相关。
• 若奇素数 q 整除该整数因子，且 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想第一部分成立，则 q 必整除 |Ш(A_f)| 或某个 p∣N 的 c_p(A_f)。
• 当 f 模某个 p 上的素理想同余于一个其对应阿贝尔簇具有正 Mordell-Weil 秩的特征形式，且在附加假设（p²∤N，p∤|A_f(Q)_{tors}|）下，p 必整除 L(A_f,1)/Ω_A_f 的分子。
• Euler 因子 P_p(p^{-1}) 的 p-进赋值等于 V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p 中 Galois 固定点的阶，该阶与成分群阶 c_p(A_f) 在 p-幂因子意义下同构。
• 成分群阶 c_p(A_f) 由 Tate 模的 Galois 上同调决定，具体通过 Frobenius 在商 V_ℓ^I_p / T_ℓ^I_p 上的固定点确定。
• 可见性理论表明：若 f 同余于一个正秩形式，则 Ш(A_f) 非平凡，且该性质反映在 L-值比的分子中，从而为 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想的第二部分提供支持。