[论文解读] A volume conjecture for a family of Turaev-Viro type invariants of $3$-manifolds with boundary

Qingtao Chen, Tian Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用 15

一句话总结

本文提出了一个关于带边3-流形的Turaev-Viro型不变量的体积猜想，表明当在单位根 $\exp(2\pi i / r)$ 处求值时，这些不变量的指数增长速率与大 $r$ 时流形的双曲体积相等。此外，该文进一步猜想，对于闭合双曲3-流形，Turaev-Viro不变量与Reshetikhin-Turaev-Lickorish不变量的指数增长速率分别等于双曲体积与复体积，揭示了与Witten猜想不同的渐近行为。

ABSTRACT

We consider a family of Turaev-Viro type invariants for a $3$-manifold $M$ with non-empty boundary, indexed by an integer $r\geqslant3,$ and propose a volume conjecture for hyperbolic $M$ that these invariants grow exponentially at large $r$ with a growth rate the hyperbolic volume of $M.$ The crucial step is the evaluation at the root of unity $\exp({2\pi\sqrt{-1}}/{r})$ instead of that at the usually considered root $\exp({\pi\sqrt{-1}}/{r}).$ Evaluating at the same root $\exp({2\pi\sqrt{-1}}/{r}),$ we then conjecture that, the Turaev-Viro invariants and the Reshetikhin-Turaev-Lickorish invariants of a closed hyperbolic $3$-manifold $M$ grow exponentially with growth rates respectively the hyperbolic and the complex volume of $M.$ This uncovers a different asymptotic behavior of the values at other roots of unity than that at $\exp({\pi\sqrt{-1}}/{r})$ predicted by Witten's Asymptotic Expansion Conjecture, which may indicate some different geometric interpretation of the Reshetikhin-Turaev invariants than the $SU(2)$ Chern-Simons theory. Numerical evidences are provided to support these conjectures.

研究动机与目标

• 将Turaev-Viro不变量的体积猜想扩展至非空边界的3-流形。
• 研究这些不变量在单位根 $\exp(2\pi i / r)$ 处的渐近行为，与标准的 $\exp(\pi i / r)$ 情况形成对比。
• 探讨闭合双曲3-流形的Turaev-Viro与Reshetikhin-Turaev-Lickorish不变量的增长速率是否分别对应于双曲体积与复体积。
• 通过揭示Reshetikhin-Turaev不变量的不同几何解释，挑战Witten的渐近展开猜想。

提出的方法

• 为带边3-流形定义一族Turaev-Viro型不变量，以整数 $r \geq 3$ 为索引。
• 在单位根 $\exp(2\pi i / r)$ 处求值，而非传统的 $\exp(\pi i / r)$，以探测不同的渐近行为。
• 猜想：当 $r \to \infty$ 时，这些不变量在 $\exp(2\pi i / r)$ 处的指数增长速率与带边的双曲流形的双曲体积相等。
• 将猜想扩展至闭合双曲3-流形，提出Turaev-Viro不变量的增长速率等于双曲体积，而Reshetikhin-Turaev-Lickorish不变量的增长速率等于复体积。
• 利用数值证据支持猜想，特别针对带边的双曲3-流形和闭合双曲3-流形。
• 将 $\exp(2\pi i / r)$ 处的渐近行为与Witten的渐近展开猜想进行比较，突出其差异，可能暗示Reshetikhin-Turaev不变量具有不同的几何解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $r \to \infty$ 时，若在 $\exp(2\pi i / r)$ 处求值，带边双曲3-流形的Turaev-Viro不变量是否以等于其双曲体积的速率指数增长？
• RQ2 在 $\exp(2\pi i / r)$ 处，闭合双曲3-流形的Turaev-Viro与Reshetikhin-Turaev-Lickorish不变量是否分别以双曲体积与复体积的速率指数增长？
• RQ3 $\exp(2\pi i / r)$ 处这些不变量的渐近行为与Witten的渐近展开猜想所预测的有何不同？
• RQ4 与 $\exp(\pi i / r)$ 相比，在 $\exp(2\pi i / r)$ 处观察到的显著渐近增长背后可能隐藏何种几何或拓扑解释？
• RQ5 数值计算能否为边界情形和闭合情形下的所提体积猜想提供可靠的证据？

主要发现

• 当 $r \to \infty$ 时，带边双曲3-流形的Turaev-Viro不变量在 $\exp(2\pi i / r)$ 处的指数增长速率被猜想等于其双曲体积。
• 对于闭合双曲3-流形，Turaev-Viro不变量的指数增长速率被猜想等于双曲体积。
• 闭合双曲3-流形的Reshetikhin-Turaev-Lickorish不变量的指数增长速率被猜想等于复体积。
• $\exp(2\pi i / r)$ 处的渐近行为与Witten的渐近展开猜想所预测的结果显著不同，提示Reshetikhin-Turaev不变量可能具有不同的几何解释。
• 数值证据支持了边界情形和闭合双曲3-流形下所提体积猜想的可靠性。
• 在 $\exp(2\pi i / r)$ 处的求值揭示了一个新的渐近区域，可能对应于不同于 $SU(2)$ Chern-Simons理论的量子场论解释。