[论文解读] A wavelet Plancherel theory with application to sparse continuous wavelet transform

Ron Levie, Nir Sochen|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2017

Image and Signal Denoising Methods参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文提出了一种小波-普朗歇尔理论，将信号嵌入到窗口-信号空间中，通过小波-普朗歇尔变换在信号空间与相空间之间建立等距同构。借助这一同构关系，该方法可在窗口-信号空间中通过系数搜索实现高效的稀疏逼近，相比标准匹配追踪算法，计算复杂度更低。

ABSTRACT

We introduce a framework for calculating sparse approximations to signals based on elements of continuous wavelet systems. The method is based on an extension of the continuous wavelet theory. In the new theory, the signal space is embedded in larger abstract signal space, which we call the window-signal space. There is a canonical extension of the wavelet transform on the window-signal space, which is an isometric isomorphism from the window-signal space to a space of functions on phase space. Hence, the new framework is called a wavelet-Plancherel theory, and the extended wavelet transform is called the wavelet-Plancherel transform. Since the wavelet-Plancherel transform is an isometric isomorphism, any operation on phase space can be pulled-back to an operation in the window-signal space. Using this pull back property, it is possible to pull back a search for big wavelet coefficients to the window-signal space. We can thus avoid inefficient calculations on phase space, performing all calculations entirely in the window-signal space. We consider in this paper a matching pursuit algorithm based on this coefficient search approach. Our method has lower computational complexity than matching pursuit algorithms based on a naive coefficient search.

研究动机与目标

• 开发基于连续小波系统的稀疏信号逼近理论框架。
• 解决在匹配追踪过程中相空间中系数搜索的高计算成本问题。
• 将信号空间嵌入到更大的窗口-信号空间中，以实现与相空间的等距同构。
• 通过将相空间中的运算回拉至窗口-信号空间，实现高效计算。
• 降低基于匹配追踪的稀疏逼近算法的计算复杂度。

提出的方法

• 将信号空间嵌入到一个更大的抽象空间，称为窗口-信号空间。
• 定义扩展的小波变换——小波-普朗歇尔变换，作为从窗口-信号空间到相空间上函数空间的等距同构映射。
• 将相空间中的运算（如系数搜索）回拉至窗口-信号空间进行计算。
• 回拉性质使得所有计算均可完全在窗口-信号空间内完成，避免直接操作相空间。
• 基于窗口-信号空间中的系数搜索方法，构建一种匹配追踪算法。
• 通过在等距等价的窗口-信号空间中操作，避免了低效的相空间采样。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何扩展连续小波系统，以实现在信号处理中高效的稀疏逼近？
• RQ2 何种数学框架可支持小波变换下信号空间与相空间之间的等距同构？
• RQ3 能否通过将问题转换到更大的信号空间来优化匹配追踪的系数搜索？
• RQ4 在窗口-信号空间中运算相比直接在相空间计算具有何种计算优势？
• RQ5 小波-普朗歇尔变换如何实现稀疏逼近算法的复杂度降低？

主要发现

• 小波-普朗歇尔变换在窗口-信号空间与相空间上的函数之间建立了等距同构。
• 该同构使得相空间中的所有运算均可等价地在窗口-信号空间中执行。
• 该方法通过在窗口-信号空间中操作，实现了更高效的匹配追踪系数搜索。
• 所得到的稀疏逼近算法的计算复杂度低于基于相空间的朴素匹配追踪算法。
• 该框架为使用连续小波系统实现稀疏信号表示提供了理论基础，并显著降低了计算开销。