[论文解读] A Weak Dynamic Programming Principle for Combined Optimal Stopping and Stochastic Control with $\mathcal{E}^f$- expectations

Roxana Dumitrescu, Marie-Claire Quenez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文在由带跳的BSDE诱导的非线性 ${\mathcal{E}}^{f}$-期望下，为结合最优停时与随机控制问题建立了弱动态规划原理（DPP）。证明了值函数的上半连续包络 $u^*$ 和下半连续包络 $u_*$ 分别是非线性Hamilton-Jacobi-Bellman变分不等式的粘性次解与超解，将经典的DPP结果推广至非光滑终端收益与非线性期望的情形。

ABSTRACT

We study a combined optimal control/stopping problem under a nonlinear expectation ${\cal E}^f$ induced by a BSDE with jumps, in a Markovian framework. The terminal reward function is only supposed to be Borelian. The value function $u$ associated with this problem is generally irregular. We first establish a {\em sub- (resp. super-) optimality principle of dynamic programming} involving its {\em upper- (resp. lower-) semicontinuous envelope} $u^*$ (resp. $u_*$). This result, called {\em weak} dynamic programming principle (DPP), extends that obtained in \cite{BT} in the case of a classical expectation to the case of an ${\cal E}^f$-expectation and Borelian terminal reward function. Using this {\em weak} DPP, we then prove that $u^*$ (resp. $u_*$) is a {\em viscosity sub- (resp. super-) solution} of a nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman variational inequality.

研究动机与目标

• 将弱动态规划原理推广至具有跳的 ${\mathcal{E}}^{f}$-期望下的最优控制/停时问题。
• 处理终端收益函数仅为Borel可测、不一定是连续或下半连续的情形。
• 建立值函数的上、下半连续包络满足粘性次解与超解性质。
• 将经典的粘性解框架扩展至非线性期望与不规则终端数据的情形。

提出的方法

• 采用由布朗运动和泊松随机测度驱动的受控SDE的马氏框架。
• 利用带跳的倒向随机微分方程（BSDE）来定义非线性 ${\mathcal{E}}^{f}$-期望。
• 通过分析值函数的上半连续包络 $u^*$ 和下半连续包络 $u_*$，应用弱DPP。
• 利用涉及 $u^*$ 的次优性原理与涉及 $u_*$ 的最优性原理，推导出粘性次解与超解性质。
• 依赖Borel函数的逼近技术以及 $L^2$ 与 $\mathbb{H}^2$ 空间的可分性来处理不规则性。
• 利用测度论结果，确保在完成过滤下可测映射的版本存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有跳的 ${\mathcal{E}}^{f}$-期望下，为结合最优停时与随机控制问题建立弱动态规划原理？
• RQ2 值函数的上、下半连续包络在非线性期望设定下，与HJB变分不等式的粘性解有何关系？
• RQ3 当终端收益函数仅为Borel可测、无连续性或半连续性假设时，弱DPP是否仍成立？
• RQ4 在非线性期望框架下，值函数的包络能否被表征为粘性次解与超解？
• RQ5 带跳的BSDE在定义 ${\mathcal{E}}^{f}$-期望以及扩展经典DPP结果中起什么作用？

主要发现

• 值函数 $u$ 满足一个涉及其上半连续包络 $u^*$ 和下半连续包络 $u_*$ 的弱动态规划原理。
• 上包络 $u^*$ 是非线性Hamilton-Jacobi-Bellman变分不等式的粘性次解。
• 下包络 $u_*$ 是同一变分不等式的粘性超解。
• 该结果将弱DPP从经典期望推广至具有跳的 ${\mathcal{E}}^{f}$-期望与Borel终端收益的情形。
• 证明依赖于Borel函数的逼近以及 $L^2$ 与 $\mathbb{H}^2$ 空间的可分性以处理不规则性。
• 该框架将[8]中的先前结果推广至非线性期望与不连续收益函数的情形。