[论文解读] A Weak Galerkin Finite Element Method for Second-Order Elliptic Problems

Junping Wang, Xiu Ye|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文通过在不连续函数上采用弱定义的梯度算子，提出了一种用于二阶椭圆问题的弱伽辽金（WG）有限元方法，使得完全不连续的有限元空间得以应用。该方法在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下均实现了最优误差估计，并在对偶问题具有完整 $H^2$ 正则性时观察到超收敛现象。

ABSTRACT

In this paper, authors shall introduce a finite element method by using a weakly defined gradient operator over discontinuous functions with heterogeneous properties. The use of weak gradients and their approximations results in a new concept called {\em discrete weak gradients} which is expected to play important roles in numerical methods for partial differential equations. This article intends to provide a general framework for operating differential operators on functions with heterogeneous properties. As a demonstrative example, the discrete weak gradient operator is employed as a building block to approximate the solution of a model second order elliptic problem, in which the classical gradient operator is replaced by the discrete weak gradient. The resulting numerical approximation is called a weak Galerkin (WG) finite element solution. It can be seen that the weak Galerkin method allows the use of totally discontinuous functions in the finite element procedure. For the second order elliptic problem, an optimal order error estimate in both a discrete $H^1$ and $L^2$ norms are established for the corresponding weak Galerkin finite element solutions. A superconvergence is also observed for the weak Galerkin approximation.

研究动机与目标

• 开发一种新的有限元方法，允许对二阶椭圆问题进行完全不连续的逼近。
• 引入离散弱梯度的概念，作为伽辽金公式中经典梯度的替代。
• 建立一个适用于具有异质性质函数的微分算子应用的一般框架。
• 证明所得弱伽辽金有限元解在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下的最优收敛速率。
• 在对偶问题具有完整 $H^2$ 正则性时，展示超收敛现象。

提出的方法

• 该方法通过在单元内部和边界上分部分部积分的方式定义弱梯度算子，允许有限元空间中包含不连续函数。
• 通过将局部投影映射到多项式空间，构造离散弱梯度，从而实现在不连续函数上对经典梯度的数值逼近。
• 弱伽辽金公式用离散弱梯度替代变分形式中的经典梯度，从而得到对称且正定的线性系统。
• 该方法采用类似混合有限元的结构，每个单元具有独立的内部和边界自由度，表示为 $v = \{v_0, v_b\}$。
• 误差分析依赖于插值估计、对偶论证，以及涉及离散弱梯度和精确解投影的一致性误差界。
• 该框架被扩展以处理具有变系数和混合边界条件的一般二阶椭圆问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种有限元方法，允许完全不连续函数的同时保持最优收敛性？
• RQ2 离散弱梯度在稳定和逼近不连续函数的经典梯度中起到何种作用？
• RQ3 弱伽辽金有限元解在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下的误差估计可推导出何种结果？
• RQ4 在何种正则性假设下，弱伽辽金方法表现出超收敛？
• RQ5 该方法在具有变系数和非光滑解的问题中表现如何？

主要发现

• 弱伽辽金有限元方法在离散 $H^1$ 范数下达到最优收敛阶 $h^{m}$，在 $L^2$ 范数下达到 $h^{m+s}$，其中 $m$ 为多项式次数，$s$ 为对偶问题的正则性指标。
• 当对偶问题具有完整 $H^2$ 正则性（即 $s=1$）时，方法在 $L^2$ 范数下表现出超收敛，收敛阶为 $h^{j+2}$，其中 $j$ 为每个单元上的多项式次数。
• 离散 $H^1$ 范数下的误差估计受 $C(h^m\|u\|_{m+1} + h^{1+s}\|f - Q_0f\|)$ 控制，表明在光滑性假设下实现最优收敛。
• 该方法对具有对称正定系数矩阵和变系数的一般二阶椭圆问题均保持稳定与收敛。
• 离散弱梯度算子即使在解于单元界面处不连续时，也能实现经典梯度的一致且稳定的逼近。
• 数值结果证实，该方法在适当正则性条件下保持最优收敛速率，并表现出超收敛现象。