[论文解读] A weak randomness notion for probability measures

André Nies, Frank Stephan|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 1

一句话总结

本文引入了康托尔空间上概率测度的一种弱随机性概念，定义为马丁-洛夫绝对连续性，即非ML随机序列在该测度下构成零测集。本文建立了该性质与测度下初始段复杂度增长速率之间的联系，表明最大复杂度增长意味着弱随机性，尽管在此背景下莱文-施诺尔定理的逆命题不成立。

ABSTRACT

We study algorithmic randomness properties for probability measures on Cantor space. We say that a measure $\mu$ on the space of infinite bit sequences is ML absolutely continuous if the non-ML-random bit sequences form a null set with respect to~$\mu$. We think of this as a weak randomness notion for measures. We begin with examples, and provide a robustness property related to Solovay tests. Our main work connects our weak randomness notion to the growth of the initial segment complexity for measures~$\mu$; the latter is defined as a $\mu$-average over the complexity of strings of the same length. We show that a maximal growth implies our weak randomness property, but also that both implications of the Levin-Schnorr theorem fail. We discuss $C$-triviality and $K$-triviality for measures and relate these two notions with each other. Here triviality means that the growth of initial segment complexity is as slow as possible. We show that full Martin-Lof randomness of a measure implies ML absolute continuity; the converse fails because only the latter property is compatible with having atoms. In a final section we consider weak randomness relative to a general ergodic computable measure. We seek appropriate effective versions of the Shannon-McMillan-Breiman theorem and the Brudno theorem where the bit sequences are replaced by measures. We conclude with several open questions.

研究动机与目标

• 定义并研究康托尔空间上概率测度的算法随机性的一种弱形式。
• 使用索洛瓦测试探讨该概念的鲁棒性，并研究其与具有原子的测度的相容性。
• 将弱随机性性质与测度下字符串的平均初始段复杂度联系起来。
• 研究测度的$C$-平凡性和$K$-平凡性，刻画复杂度增长的缓慢性。
• 将结果推广至相对于一般遍历可计算测度的弱随机性，寻求香农-麦克米伦-布吕多定理和布吕多定理的有效版本。

提出的方法

• 将ML绝对连续性定义为：在给定概率测度下，非马丁-洛夫随机序列的测度为零。
• 使用索洛瓦测试，建立弱随机性概念在测度变换下的鲁棒性。
• 分析测度$\mu$下长度为$n$的字符串的平均初始段复杂度，记为$\mathbb{E}_\mu[K(x)]$。
• 证明$\mathbb{E}_\mu[K(x)]$的最大增长速率蕴含ML绝对连续性。
• 证明莱文-施诺尔定理的蕴含关系在测度语境下不成立，尽管正向关系成立。
• 将$C$-平凡性和$K$-平凡性作为最小复杂度增长的测度概念进行研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 ML绝对连续性是否蕴含测度的完全马丁-洛夫随机性？
• RQ2 平均初始段复杂度$\mathbb{E}_\mu[K(x)]$与测度$\mu$的弱随机性性质有何关系？
• RQ3 莱文-施诺尔定理的蕴含关系能否推广至测度？抑或在此设定下不成立？
• RQ4 测度的$C$-平凡性与$K$-平凡性之间有何关系？
• RQ5 能否为测度而非序列形式化香农-麦克米伦-布吕多定理和布吕多定理的有效版本？

主要发现

• 测度的完全马丁-洛夫随机性蕴含ML绝对连续性，但反之不成立，原因在于其与原子的相容性。
• 平均初始段复杂度$\mathbb{E}_\mu[K(x)]$的最大增长速率蕴含测度$\mu$的ML绝对连续性。
• 莱文-施诺尔定理的蕴含关系在测度语境下不成立，尽管正向关系成立。
• $C$-平凡性和$K$-平凡性作为测度概念是不同的，其中$K$-平凡性对应于复杂度增长的最慢可能速率。
• ML绝对连续性在索洛瓦测试下具有鲁棒性，表明其在有效测度变换下具有稳定性。
• 本文指出了关于香农-麦克米伦-布吕多定理和布吕多定理在测度上的有效版本的开放问题。