[论文解读] A weighted first-order formulation for solving anisotropic diffusion equations with deep neural networks

Hui Xie, Chuanlei Zhai+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2022

Nanofluid Flow and Heat Transfer被引用 10

一句话总结

本文提出一种加权一阶公式化方法，以改进深度神经网络求解具有间断扩散张量的各向异性扩散方程的精度。通过沿张量特征向量分解热通量，并在界面附近应用衰减权重函数，该方法显著提升了准确性，尤其在间断情形下，同时保持与标准PINNs相当的计算效率。

ABSTRACT

In this paper, a new weighted first-order formulation is proposed for solving the anisotropic diffusion equations with deep neural networks. For many numerical schemes, the accurate approximation of anisotropic heat flux is crucial for the overall accuracy. In this work, the heat flux is firstly decomposed into two components along the two eigenvectors of the diffusion tensor, thus the anisotropic heat flux approximation is converted into the approximation of two isotropic components. Moreover, to handle the possible jump of the diffusion tensor across the interface, the weighted first-order formulation is obtained by multiplying this first-order formulation by a weighted function. By the decaying property of the weighted function, the weighted first-order formulation is always well-defined in the pointwise way. Finally, the weighted first-order formulation is solved with deep neural network approximation. Compared to the neural network approximation with the original second-order elliptic formulation, the proposed method can significantly improve the accuracy, especially for the discontinuous anisotropic diffusion problems.

研究动机与目标

• 解决标准物理信息神经网络（PINNs）在求解具有间断扩散张量的各向异性扩散问题时精度较差的问题。
• 通过利用无网格深度学习，克服传统有限体积格式在扭曲或高度各向异性网格下的局限性。
• 改进各向异性热通量的逼近，特别是在扩散张量间断的材料界面处。
• 开发一种即使在扩散张量间断时仍保持逐点定义的公式化方法，以确保数值稳定性。
• 在高维及复杂的各向异性扩散问题中，展示该方法的鲁棒性与可扩展性。

提出的方法

• 将各向异性热通量分解为与扩散张量特征向量对齐的两个分量，将问题转化为逼近两个各向同性通量。
• 通过在间断界面附近乘以衰减权重函数，引入加权一阶系统。
• 利用权重函数的衰减特性，确保在间断处公式化仍保持良好定义与稳定。
• 使用加权一阶系统作为损失函数训练深度神经网络，实现无网格、逐点求解PDE。
• 保持与标准PINNs相同的神经网络架构与训练设置，以确保公平比较并维持相近的计算效率。
• 将该方法应用于稳态与时间依赖问题，包括三维情形，以验证其可扩展性与鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于特征向量的通量分解的一阶公式化是否能提升深度神经网络求解各向异性扩散问题的精度？
• RQ2 加权一阶公式化如何处理材料界面处扩散张量的间断性？
• RQ3 所提出的方法是否在显著提升标准PINNs在间断各向异性情形下精度的同时，仍保持计算效率？
• RQ4 该方法能否有效捕捉在旋转或空间变化的各向异性场中，热通量沿主扩散方向的对齐特性？
• RQ5 与传统基于网格的格式相比，该方法在高维问题（特别是三维）中的表现如何？

主要发现

• 在强间断情形下，加权一阶PINN（加权FO-PINN）的离散相对$L_2$-范数误差为$6.90 \times 10^{-2}$，而基线PINN为$1.01$，表明精度有显著提升。
• 在具有局部源项的旋转各向异性扩散问题中，加权FO-PINN的解与参考有限体积解高度吻合，并正确地沿主扩散方向对齐热通量。
• 该方法成功捕捉了空间依赖各向异性扩散问题的解分布，其最大解值与文献中成熟数值格式的结果接近。
• 该方法保持了与标准PINNs相当的计算效率，因其采用相同的神经网络架构与训练流程。
• 三维测试结果表明，该方法并未严重受到维度灾难的影响，显示出在高维PDE中的应用前景。
• 经验上，权重函数中$\epsilon = 0.01$的过渡宽度在间断界面处可获得最优精度，而光滑情形下使用机器精度设置已足够。