[论文解读] A weighted reduced basis method for parabolic PDEs with random data

Christopher Spannring, Sebastian Ullmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种用于具有随机输入的抛物型PDE的加权简化基方法，采用加权POD-greedy算法以提升在均方根解误差和均值绝对输出误差方面的误差收敛性。该方法优于非加权简化基方法，并接近本征正交分解（POD）的最优误差，展示了在参数化PDE不确定性量化中的优越效率。

ABSTRACT

This work considers a weighted POD-greedy method to estimate statistical outputs parabolic PDE problems with parametrized random data. The key idea of weighted reduced basis methods is to weight the parameter-dependent error estimate according to a probability measure in the set-up of the reduced space. The error of stochastic finite element solutions is usually measured in a root mean square sense regarding their dependence on the stochastic input parameters. An orthogonal projection of a snapshot set onto a corresponding POD basis defines an optimum reduced approximation in terms of a Monte Carlo discretization of the root mean square error. The errors of a weighted POD-greedy Galerkin solution are compared against an orthogonal projection of the underlying snapshots onto a POD basis for a numerical example involving thermal conduction. In particular, it is assessed whether a weighted POD-greedy solutions is able to come significantly closer to the optimum than a non-weighted equivalent. Additionally, the performance of a weighted POD-greedy Galerkin solution is considered with respect to the mean absolute error of an adjoint-corrected functional of the reduced solution.

研究动机与目标

• 改进具有随机输入参数的抛物型PDE的模型降阶效率。
• 降低估计统计输出（如期望值和输出泛函）的计算成本。
• 探究根据概率测度对误差估计器加权是否能实现更快的收敛速度和更优的近似质量。
• 将加权简化基方法与非加权简化基方法及基于POD的降维空间进行性能比较。
• 评估该方法在最小化均方根解误差和均值绝对输出误差两方面的有效性。

提出的方法

• 加权POD-greedy算法通过最小化基于随机参数概率密度函数的参数加权误差估计器来构建降维空间。
• 该方法采用伽辽金投影到降维空间，以计算满足抛物型PDE弱形式的降阶解。
• 对原问题和对偶问题的误差估计器均按概率密度函数加权，以优先考虑参数域中高概率区域。
• 通过贪婪算法迭代构建降基，基于加权误差估计器选择参数样本。
• 对快照数据进行本征正交分解（POD）以提供用于比较的最优降维空间参考。
• 采用蒙特卡洛采样计算期望值，并评估解和输出泛函近似中的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 与非加权方法相比，加权简化基方法是否在均方根解误差收敛性方面表现更优？
• RQ2 加权方法是否能产生比非加权方法更接近最优POD近似的降阶解？
• RQ3 在最小化线性输出泛函的均值绝对误差方面，加权方法表现如何？
• RQ4 对误差估计器加权在参数化抛物型PDE中对统计输出近似性能的提升程度如何？
• RQ5 与标准简化基或POD方法相比，加权简化基方法在不确定性量化中是否更具效率？

主要发现

• 在所有降基维数下，加权POD-greedy方法的均方根解误差显著低于非加权POD-greedy方法。
• 在均方误差意义上，加权降基解比非加权方法更接近最优POD解。
• 对于均值绝对输出误差，加权方法始终优于非加权方法，且收敛速度更快。
• 加权方法比非加权方法更有效地降低了期望解误差，接近最优POD空间的误差水平。
• 数值结果证实，根据概率测度对误差估计器加权可实现更高效的不确定性量化降维空间构建。
• 该方法表明，将概率测度纳入贪婪选择准则可显著提升参数化PDE中统计输出近似的准确性。