[论文解读] A well-balanced reconstruction for wetting/drying fronts

Andreas Bollermann, Guoxian Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于连续分段线性底地形重构的、平衡且保持正性的有限体积格式，用于浅水方程。其关键创新在于一种新颖的干/湿单元重构策略，可精确保持“静止湖面”和“干湖”稳态，同时通过在局部排水时间处施加通量限制来维持正性，从而实现对干湿前缘的鲁棒模拟，且无需时间步长限制。

ABSTRACT

In this paper, we construct a well-balanced, positivity preserving finite volume scheme for the shallow water equations based on a continuous, piecewise linear discretization of the bottom topography. The main new technique is a special reconstruction of the flow variables in wet-dry cells, which is presented in this paper for the one dimensional case. We realize the new reconstruction in the framework of the second-order semi-discrete central-upwind scheme from (A. Kurganov and G. Petrova, Commun. Math. Sci., 2007). The positivity of the computed water height is ensured following (A. Bollermann, S. Noelle and M. Lukáčová-Medviďová, Commun. Comput. Phys., 2010): The outgoing fluxes are limited in case of draining cells.

研究动机与目标

• 开发一种良好平衡的有限体积格式，精确保持浅水模拟中‘静止湖面’和‘干湖’稳态。
• 确保在湿/干单元中水深保持正性，特别是在数值振荡可能导致深度变为负值的情况下。
• 在存在干区及冲击波撞击干区的情况下，保持二阶精度与鲁棒性。
• 实现无需减小全局时间步长的稳定且精确的干湿前缘模拟。
• 将迎风中心格式扩展至处理连续分段线性底地形，同时保持良好平衡性与正性。

提出的方法

• 提出一种针对湿/干单元中流动变量的新重构技术，专门设计用于同时保持‘静止湖面’和‘干湖’稳态。
• 采用连续分段线性离散化底地形，以提高数值稳定性和精度。
• 通过在局部排水时间短于全局时间步长时限制流出通量，强制保持水深正性。
• 该格式基于 Kurganov 与 Petrova (2007) 提出的二阶半离散迎风中心有限体积方法框架构建。
• 重构确保在平衡态（包括混合湿/干构型）下，数值通量与源项精确平衡。
• 对 Manning 摩擦项采用部分隐式处理，以在不破坏格式稳定性的情况下处理其在湿/干前缘处的奇异性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于连续分段线性底地形重构，构建一种良好平衡且保持正性的浅水方程格式？
• RQ2 如何重构干/湿前缘，以同时保持‘静止湖面’和‘干湖’稳态？
• RQ3 能否在不施加严格时间步长约束的情况下确保水深正性？
• RQ4 当冲击波撞击干区或存在强摩擦项时，该格式表现如何？
• RQ5 所提出的重构方法在非平衡、瞬态流中是否仍能保持二阶精度与良好平衡性？

主要发现

• 由于特别设计的重构方法，所提格式即使在混合湿/干区域中也能精确保持‘静止湖面’和‘干湖’稳态。
• 该格式在空间上保持二阶精度，并在所有测试的数值算例中实现了实验收敛阶。
• 通过在局部排水时间处实施通量限制，水深正性在干/湿前缘处得以保持，避免了时间步长的减小。
• 该方法成功模拟了带有 Manning 摩擦的三角形丘陵上实验室规模的水坝溃决，与七个测点实测水深高度吻合。
• 该格式对冲击波撞击干区具有鲁棒性，并能有效处理 Manning 摩擦项的奇异性。
• 案例研究显示，该格式的先前版本无法收敛至平衡态，证明了新重构方法的必要性。