[论文解读] A Z_2-orbifold model of the symplectic fermionic vertex operator superalgebra

Toshiyuki Abe|ArXiv.org|Mar 23, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 14

一句话总结

该论文构建了一个中心指数为 $-2d$ 的非有理 $C_2$-余有限顶点算子代数，其为由 $d$ 对辛费米子生成的辛费米子顶点算子超代数关于 $\field{Z}_2$-群作用的商代数。该工作对所有不可约模进行了分类，并证明其自同构群同构于 $Sp(2d,\mathbb{C})/\langle\theta\rangle$，在 $d=1$ 时实现了 $c=-2$ 三元组代数，并将其推广至更高 $d$。该构造依赖于 Zhu 代数及 $\field{Z}_2$-群作用的表示理论。

ABSTRACT

We construct an irrational C_2-cofinite vertex operator algebra associatted to a finite dimensional vector space with a nondegenerate skew-symmetric bilinear form. We also classify its equivalence classes of irreducible modules and determine its automorphism group.

研究动机与目标

• 为任意正整数 $d$ 构造一个中心指数为 $-2d$ 的非有理 $C_2$-余有限顶点算子代数。
• 对该顶点算子代数的所有不可约模进行分类。
• 确定所构造顶点算子代数的自同构群。
• 通过辛费米子实现 Kausch 的 $c=-2$ 三元组代数，并推广至更高 $d$。

提出的方法

• 通过 $\mathfrak{h}$ 上的非退化斜对称形式的 Fock 空间构造法，从 $d$ 对辛费米子生成顶点算子超代数 $SF$。
• 利用 $\mathfrak{h}$ 的基 $\{e^i, f^i\}$ 满足 $\langle f^i, e^j\rangle = \delta_{ij}$，在 $SF$ 中定义 Virasoro 向量，得到中心指数 $c = -2d$。
• 在典范对合 $\theta$ 作用下，将 $SF$ 的偶部 $SF^+$ 构造为 $\field{Z}_2$-群作用的商代数，使其成为一个顶点算子代数。
• 利用 Zhu 代数与模理论，通过分析 $d=1$ 与 $d\geq 2$ 情况下的 $A(SF^+)$-模，对 $SF^+$-不可约模进行分类。
• 通过直接计算 $d=1$ 情况并利用张量积结构，证明 $SF^+$ 的 $C_2$-余有限性。
• 通过模同构与双线性形式不变性，证明 $\operatorname{Aut}(SF^+)$ 同构于 $Sp(2d,\mathbb{C})/\langle\theta\rangle$，从而确定自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 辛费米子顶点算子超代数的 $\field{Z}_2$-群作用商代数的结构是什么？其中心指数为何？
• RQ2 如何对这一群作用商顶点算子代数的所有不可约模进行分类？
• RQ3 所得到的顶点算子代数 $SF^+$ 的自同构群是什么？
• RQ4 $SF^+$ 的 $C_2$-余有限性如何从 $d=1$ 情况及张量积结构推出？
• RQ5 在 $d=1$ 时，$c=-2$ 三元组代数是否可作为辛费米子 VOSA 的偶部被实现？该结果能否推广至更高 $d$？

主要发现

• 顶点算子代数 $SF^+$ 的中心指数为 $-2d$，且对任意正整数 $d$ 均为 $C_2$-余有限，其中 $d=1$ 情况下的 $C_2$-余有限性已通过直接计算证明。
• 当 $d=1$ 时，$SF^+$-不可约模同构于 $SF^+$、$SF^-$ 以及两个扭模 $SF(\theta)^\pm$，构成完整分类。
• 当 $d \geq 2$ 时，$SF^+$-不可约模为 $d=1$ 模的张量积，且通过 $A(SF^+)$-模分析实现完整分类。
• $SF^+$ 的自同构群同构于 $Sp(2d,\mathbb{C})/\langle\theta\rangle$，其中 $\theta$ 为典范对合。
• $M = SF^\pm, SF(\theta)^\pm$ 的特征标 $S_M(\tau)$ 相互不同，意味着任意自同构 $g$ 在模结构上作用平凡（至多相差一个标量）。
• 自然同态 $Sp(2d,\mathbb{C}) \to \operatorname{Aut}(SF^+)$ 是满射，从而确认 $\operatorname{Aut}(SF^+) \cong Sp(2d,\mathbb{C})/\langle\theta\rangle$。