[论文解读] Abelian categories and definable additive categories

Mike Prest|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 41被引用 10

一句话总结

本文建立了三个2-范畴之间的深层等价关系：带有精确函子的骨架构小阿贝尔范畴、带有解释函子的可定义加法范畴，以及带有相干态射的局部相干格罗滕迪克范畴。证明了每个局部相干格罗滕迪克范畴都有足够的点，推广了经典的加布里埃尔–波佩斯库定理，并通过函子-点视角将模型论中的可定义范畴与几何结构联系起来。

ABSTRACT

We consider three (2-)categories and their (anti-)equivalence. They are the category of small abelian categories and exact functors, the category of definable additive categories and interpretation functors, the category of locally coherent abelian categories and coherent morphisms. These categories link algebra, model theory and "geometry".

研究动机与目标

• 建立并探索三个2-范畴之间的范畴等价关系：带有精确函子的阿贝尔范畴、带有解释函子的可定义加法范畴，以及带有相干态射的局部相干格罗滕迪克范畴。
• 阐明模型论（通过可定义范畴）、同调代数（通过阿贝尔范畴）与代数几何（通过格罗滕迪克范畴与点）之间的联系。
• 证明每个局部相干格罗滕迪克范畴在几何意义上都有足够多的点，推广了关于相干拓扑斯的经典结果。
• 为局部相干范畴中的点提供函子-点解释，将其与从整数环或域出发的态射联系起来。

提出的方法

• 利用函子 Ex(−, Ab) 在骨架构小阿贝尔范畴的2-范畴与可定义加法范畴的2-范畴之间建立（反）等价关系，该函子将每个小阿贝尔范畴映射为到阿贝尔群范畴的精确函子范畴。
• 应用 Yoneda 嵌入与 Ind-完备化，将小阿贝尔范畴实现为局部相干格罗滕迪克范畴中有限表示对象的范畴，通过 Lex(A^op, Ab)。
• 运用 pp-可定义映射的理论与模型论实现方法，证明局部相干范畴中不同的态射可通过在可定义范畴中的模型处取值加以区分。
• 使用 El Bashir 定理来验证伴随函子定理中的解集条件，确保从格罗滕迪克范畴到 Ab 的保持列极限的精确函子拥有右伴随。
• 引入格罗滕迪克范畴之间 α-相干态射的概念，其中拉回保持 <α-表示对象，并证明每个格罗滕迪克范畴之间的精确左伴随函子对某个 α 都是 α-相干的。
• 通过利用不可约内射上的扎里斯基拓扑，发展了一种几何解释：将点视为从 O_Z 到与格罗滕迪克范畴关联的阿贝尔空间的环化空间态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 骨架构小阿贝尔范畴、可定义加法范畴与局部相干格罗滕迪克范畴的2-范畴之间，通过（反）等价关系如何关联？
• RQ2 格罗滕迪克范畴中的“点”概念能否从模型论与几何角度加以刻画，推广经典关于相干拓扑斯的结果？
• RQ3 函子 Ex(A, Ab) 在连接小阿贝尔范畴与可定义范畴、格罗滕迪克范畴方面起到什么作用？
• RQ4 在（反）等价关系下，可定义范畴之间的解释函子如何对应于小阿贝尔范畴之间的精确函子？
• RQ5 能否通过从 O_Z 或 O_k 出发的态射，从点重构局部相干范畴的几何结构？

主要发现

• 在带有精确函子的骨架构小阿贝尔范畴的2-范畴与带有解释函子的可定义加法范畴的2-范畴之间存在一个全（反）等价关系，该等价关系由函子 Ex(−, Ab) 所介导。
• 每个局部相干格罗滕迪克范畴都有足够多的点：对于任意两个不同的平行态射，都存在一个几何点（即保持列极限的精确函子到 Ab）能够将它们区分开。
• 局部相干格罗滕迪克范畴中有限表示对象的范畴，与小阿贝尔范畴在 Yoneda 嵌入下的像等价，且该范畴与原始阿贝尔范畴的 Ind-完备化等价。
• 由 El Bashir 定理保证，从格罗滕迪克范畴到 Ab 的保持列极限的精确函子存在右伴随，从而确保了解集条件的满足。
• 每个格罗滕迪克范畴之间的精确左伴随函子对某个正则基数 α 都是 α-相干的，即它保持 <α-表示对象。
• 局部相干范畴的一个几何点对应于从 O_Z 到与该范畴关联的阿贝尔空间的环化空间态射，其中空间由不可约内射与扎里斯基拓扑构成。