[论文解读] Abelian combinatorial gauge symmetry

Hongji Yu, Dmitry Green+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2022

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 4

一句话总结

该论文将组合规范对称性（CGS）推广至所有有限阿贝尔群，实现了仅含两体相互作用的精确、非微扰格点规范场论。通过使用单体矩阵 $ L $ 和对角矩阵 $ R $ 构建哈密顿量，该框架确保了精确规范对称性和拓扑序，并提出了在超导导线阵列中的物理实现，为实验稳定拓扑量子物态提供了路径。

ABSTRACT

Combinatorial gauge symmetry is a principle that allows us to construct lattice gauge theories with two key and distinguishing properties: a) only one- and two-body interactions are needed; and b) the symmetry is exact rather than emergent in an effective or perturbative limit. The ground state exhibits topological order for a range of parameters. This paper is a generalization of the construction to any finite Abelian group. In addition to the general mathematical construction, we present a physical implementation in superconducting wire arrays, which offers a route to the experimental realization of lattice gauge theories with static Hamiltonians.

研究动机与目标

• 将组合规范对称性（CGS）的框架从 $\mathbb{Z}_2$ 和 $\mathbb{Z}_3$ 等小阿贝尔群推广至所有有限阿贝尔群。
• 通过群作用的矩阵表示和不变集的置换，系统地构造 CGS 哈密顿量。
• 证明仅通过两体相互作用即可实现拓扑序和精确规范对称性，避免使用微扰或涌现对称性方法。
• 提出在超导导线阵列中的物理实现方案，实现静态、能隙拓扑量子物态的实验实现。

提出的方法

• 通过满足 $ W = L^T W R $ 的两体相互作用矩阵 $ W_{ij} $ 构建 CGS 哈密顿量，其中 $ L $ 和 $ R $ 为保持量子对易关系的单体矩阵。
• 由于晶格几何结构，强制 $ R $ 为对角矩阵，而 $ L $ 作为置换矩阵作用于群作用，将群结构与不变集置换相联系。
• 通过群作用与量子变量（按晶格位点索引）上置换对称性的相互作用，对允许的 $ W $ 矩阵进行分类。
• 以 $\mathbb{Z}_2 $ 三角晶格为例，说明如何从偶数奇偶性的 $ \pm 1 $-值矩阵中产生规范对称性。
• 在 $ \sigma = 1 $ 约束下通过最小化能量推导基态谱，并通过在物质自旋上施加均匀场实现简并劈裂。
• 提出使用超导导线阵列的物理实现方案，其中约瑟夫森相位实现所需的两体相互作用和规范对称性，通过工程化耦合矩阵实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将组合规范对称性从 $\mathbb{Z}_2$ 和 $\mathbb{Z}_3$ 推广至所有有限阿贝尔群？
• RQ2 在格点规范场论中，实现精确、非微扰规范对称性的两体相互作用矩阵 $ W $ 的必要和充分条件是什么？
• RQ3 是否可以在仅含两体相互作用和精确规范对称性的模型中稳定拓扑序，而无需依赖涌现或微扰构造？
• RQ4 如何在奇配位数晶格上的 $\mathbb{Z}_2$ CGS 理论中消除虚假简并，以稳定拓扑基态？
• RQ5 在超导电路等可控量子平台中，此类 CGS 模型的可行物理实现方案是什么？

主要发现

• 在奇配位数晶格上的 $\mathbb{Z}_2$ CGS 理论中，通过在物质自旋上施加均匀场，基态简并被消除，总 $\mu$-磁化强度非零且等于 $(-1)^{(q-1)/2}\binom{q-1}{(q-1)/2}$，从而确保能隙相。
• 通过群作用与不变集置换对称性的相互作用对 $ W $ 矩阵进行分类，该框架可推广至所有有限阿贝尔群，确保精确规范对称性。
• 对于奇配位数晶格上的 $\mathbb{Z}_2$ 理论，由于均匀场下基态非简并，能量最低的通量为零的态的数量减少，从而消除了虚假简并。
• 该构造确保仅需两体相互作用，且规范对称性在所有参数下均为精确，避免了微扰或有效对称性破缺。
• 提出使用超导导线阵列的物理实现方案，其中约瑟夫森相位通过工程化耦合矩阵实现所需的两体相互作用和规范对称性。
• 证明了哈恩码中 $ A $-型算符的局部规范对称群同构于 $ \mathbb{Z}_2^7 $，由 7 个独立的 $ P_{i,i+1} $ 操作生成，每个均可表示为 $ B $-型算符的乘积。