[论文解读] Abelian extensions of infinite-dimensional Lie groups

Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|Feb 18, 2004

Advanced Topology and Set Theory参考文献 46被引用 43

一句话总结

本文为基于局部凸空间的无限维李群的阿贝尔扩张构建了一个上同调框架，引入了使用局部光滑上链的上同调群 $ H^2_s(G,A) $。它建立了连接群上同调与李代数上同调的正合序列，并通过周期同态与流量同态刻画了积分障碍，该理论应用于微分同胚群及主丛等几何结构。

ABSTRACT

In the present paper we study abelian extensions of connected Lie groups $G$ modeled on locally convex spaces by smooth $G$-modules $A$. We parametrize the extension classes by a suitable cohomology group $H^2_s(G,A)$ defined by locally smooth cochains and construct an exact sequence that describes the difference between $H^2_s(G,A)$ and the corresponding continuous Lie algebra cohomology space $H^2_c(\g,\a)$. The obstructions for the integrability of a Lie algebra extensions to a Lie group extension are described in terms of period and flux homomorphisms. We also characterize the extensions with global smooth sections resp. those given by global smooth cocycles. Finally we apply the general theory to extensions of several types of diffeomorphism groups.

研究动机与目标

• 开发基于局部凸空间的连通李群的阿贝尔扩张的上同调分类。
• 通过光滑 $ G $-模 $ A $ 的局部光滑上链，定义并研究上同调群 $ H^2_s(G,A) $。
• 通过周期同态与流量同态，描述李代数扩张向全局李群扩张积分的障碍。
• 刻画具有全局光滑截面或源自全局光滑上链的扩张。
• 将该理论应用于微分同胚群及主丛、预量化解耦等几何结构。

提出的方法

• 使用局部光滑上链引入上同调群 $ H^2_s(G,A) $，以对李群的阿贝尔扩张进行分类。
• 构造一个正合序列，将 $ H^2_s(G,A) $ 与连续李代数上同调 $ H^2_c(\frak{g},\frak{a}) $ 联系起来。
• 定义周期同态与流量同态，以刻画李代数扩张向李群扩张积分的可积性。
• 利用群上链上的上积结构 $ C^p_s(G,U) \times C^q_s(G,V) \to C^{p+q}_s(G,W) $，在上同调上定义一个乘积。
• 通过微分映射 $ D $ 建立群上同调与李代数上同调之间的相容性，证明 $ D(\alpha \cup \beta) = D\alpha \wedge D\beta $。
• 将该框架应用于具体例子，包括流形的微分同胚群及 $ \lambda $-密度模。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用上同调对无限维李群的阿贝尔扩张进行分类？
• RQ2 光滑群上同调 $ H^2_s(G,A) $ 与连续李代数上同调 $ H^2_c(\frak{g},\frak{a}) $ 之间有何关系？
• RQ3 什么障碍会阻止李代数扩张被积分成李群扩张？
• RQ4 在何种情况下阿贝尔扩张具有全局光滑截面，或源自全局光滑上链？
• RQ5 该理论如何应用于微分同胚群及主丛等几何结构？

主要发现

• 上同调群 $ H^2_s(G,A) $ 使用局部光滑上链，对李群 $ G $ 通过光滑 $ G $-模 $ A $ 的阿贝尔扩张进行参数化。
• 构造了一个正合序列，将 $ H^2_s(G,A) $ 与连续李代数上同调 $ H^2_c(\frak{g},\frak{a}) $ 联系起来，清晰揭示了群扩张与代数扩张之间的差异。
• 李代数扩张向李群扩张积分的可积性障碍由周期同态与流量同态决定，当且仅当这两个同态为零时，扩张才能被积分。
• 具有全局光滑截面的扩张恰好对应于源自全局光滑上链的扩张，从而建立了其上同调刻画。
• 群上链上的上积结构诱导了上同调上的良好定义的乘积，且在微分映射下与李代数上积相容。
• 该理论被应用于微分同胚群，包括体积保持微分同胚群及带有 $ \lambda $-密度模的圆周微分同胚群，得到了几何上意义明确的扩张。