[论文解读] Abelian Hurwitz-Hodge integrals

Paul D. Johnson, Rahul Pandharipande+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过在衣帽群代数中表达，计算了具有阿贝尔单值群的可接受覆盖模空间上的线性霍奇积分。对于具有忠实表示的循环群，结果退化为双霍奇数；在平凡群情况下，其结果恢复了埃克达尔-兰多-夏皮罗-维恩什泰因关于单霍奇数的公式。

ABSTRACT

Hodge classes on the moduli space of admissible covers with monodromy group G are associated to irreducible representations of G. We evaluate all linear Hodge integrals over moduli spaces of admissible covers with abelian monodromy in terms of multiplication in an associated wreath group algebra. In case G is cyclic and the representation is faithful, the evaluation is in terms of double Hurwitz numbers. In case G is trivial, the formula specializes to the well-known result of Ekedahl-Lando-Shapiro-Vainshtein for linear Hodge integrals over the moduli space of curves in terms of single Hurwitz numbers.

研究动机与目标

• 计算具有阿贝尔单值群的可接受覆盖模空间上的线性霍奇积分。
• 通过表示理论和稳定映射理论，建立霍奇积分与霍奇数之间的联系。
• 将埃克达尔-兰多-夏皮罗-维恩什泰因关于曲线模空间上线性霍奇积分的公式推广至阿贝尔覆盖的情形。
• 提供一个统一的框架，利用衣帽群代数结构计算霍奇积分。
• 将计算扩展至不稳定情形，并通过次数和奇偶性条件验证一致性。

提出的方法

• 利用稳定映射视角看待可接受覆盖的模空间，将其识别为到分类堆 $\mathcal{B}G$ 的稳定映射模空间。
• 将霍奇类 $\lambda_i^R$ 关联到阿贝尔群 $G$ 的不可约表示 $R$，在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\gamma}(\mathcal{B}G)$ 上形成向量丛 $\mathbb{E}^R$。
• 应用局部化技术，计算模堆上 $\lambda_i^R$ 和 $\bar{\psi}_j$ 类的上交截面数。
• 通过从 $K$-覆盖到 $\Sigma_d$-覆盖的遗忘映射，将计算约化为霍奇数，使用自同构群校正。
• 利用 $G \wr \Sigma_d$ 的衣帽积结构，将积分表达为 $G \wr \Sigma_d$ 群代数中的乘积。
• 在定理3的证明中，验证了映射 $\rho$ 和 $\rho'$ 之间次数和奇偶性条件的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用群代数结构表达阿贝尔可接受覆盖模空间上线性霍奇积分？
• RQ2 当单值群为循环群且表示为忠实表示时，霍奇积分与双霍奇数之间的确切关系是什么？
• RQ3 在平凡群情况下，该公式如何退化为埃克达尔-兰多-夏皮罗-维恩什泰因的结果？
• RQ4 自同构群校正如何在有无附加标记数据的霍奇数之间建立联系？
• RQ5 不稳定霍奇积分在何种条件下出现，且其公式中如何一致地定义？

主要发现

• 对于阿贝尔群 $G$，$\overline{\mathcal{M}}_{g,\gamma}(\mathcal{B}G)$ 上的线性霍奇积分通过衣帽群代数 $G \wr \Sigma_d$ 中的乘法计算得出。
• 当 $G = \mathbb{Z}_a$ 且表示为忠实表示时，霍奇积分退化为加权和的双霍奇数 $H_{g,K}(\overline{\nu},\overline{\mu})$。
• 当 $G$ 为平凡群时，公式特化为埃克达尔-兰多-夏皮罗-维恩什泰因的结果，恢复了单霍奇数。
• $\overline{\mathcal{M}}_{g,\iota \cup \kappa}(\mathcal{B}K)$ 到 $\overline{\mathcal{M}}_{g,d/a + \ell(\mu)}$ 的遗忘映射 $\rho^\prime$ 的次数与 $\rho$ 的次数一致，确保了计算的一致性。
• 两个映射 $\rho$ 和 $\rho^\prime$ 的奇偶性条件 $\sum \kappa_j - dx = 0$ 相同，验证了定理3中的约化。
• 不稳定积分，如 $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{0,(0)}(\mathcal{B}G)} \frac{\sum (-a)^i \lambda_i^R}{1 - x\bar{\psi}_1} = \frac{1}{|G|} \cdot \frac{1}{x^2}$，被一致地定义并包含在公式中。