[论文解读] Abelian $n$-division fields of elliptic curves and Brauer groups of product Kummer & abelian surfaces

Anthony Várilly‐Alvarado, Bianca Viray|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了某些 K3 表面和阿贝尔曲面的 Brauer 群模代数类中奇 torsion 的有限性与非 CM 椭圆曲线的阿贝尔 $n$-分圆域度数的统一有界性之间的深刻联系。证明了此类有界性等价于非 CM 椭圆曲线存在阿贝尔 $n$-分圆域的 $n$ 的统一有界性，并进一步表明，对于固定 $\$ 和 Néron–Severi 模形式的判别式，$\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 是统一有界的。

ABSTRACT

Let $Y$ be a principal homogeneous space of an abelian surface, or a K3 surface, over a finitely generated extension of $\mathbb{Q}$ . In 2008, Skorobogatov and Zarhin showed that the Brauer group modulo algebraic classes $ ext{Br}\,Y/ ext{Br}_{1}\,Y$ is finite. We study this quotient for the family of surfaces that are geometrically isomorphic to a product of isogenous non-CM elliptic curves, as well as the related family of geometrically Kummer surfaces; both families can be characterized by their geometric Néron–Severi lattices. Over a field of characteristic $0$ , we prove that the existence of a strong uniform bound on the size of the odd torsion of $ ext{Br}Y/ ext{Br}_{1}Y$ is equivalent to the existence of a strong uniform bound on integers $n$ for which there exist non-CM elliptic curves with abelian $n$ -division fields. Using the same methods we show that, for a fixed prime $\ell$ , a number field $k$ of fixed degree $r$ , and a fixed discriminant of the geometric Néron–Severi lattice, $\#( ext{Br}Y/ ext{Br}_{1}Y)[\ell ^{\infty }]$ is bounded by a constant that depends only on $\ell$ , $r$ , and the discriminant.

研究动机与目标

• 研究与同源非 CM 椭圆曲线的积或几何 Kummer 曲面几何同构的曲面的 Brauer 群模代数类 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 的结构。
• 确定在固定次数的数域上，此类曲面的 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 中奇 torsion 大小是否存在强统一有界性。
• 将此 Brauer 群商的统一有界性与非 CM 椭圆曲线具有阿贝尔 $n$-分圆域的整数 $n$ 的统一有界性存在性联系起来。
• 对固定的素数 $\ell$、数域的固定次数 $r$ 以及几何 Néron–Severi 模形式的固定判别式，建立 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 的 $\ell$-主 torsion 的统一有界性。

提出的方法

• 利用几何 Néron–Severi 模形式刻画所研究曲面族的特征，特别是与同源非 CM 椭圆曲线积或几何 Kummer 曲面同构的曲面。
• 应用伽罗瓦理论方法分析非 CM 椭圆曲线 $n$-分圆域的结构，重点关注其伽罗瓦群及其与 Brauer 群的关系。
• 利用关于有理函数域有限扩张上阿贝尔曲面和 K3 曲面的主齐性空间的 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 有限性的已知结果。
• 建立 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 中奇 torsion 的强统一有界性存在性与非 CM 椭圆曲线具有阿贝尔 $n$-分圆域的整数 $n$ 的强统一有界性存在性之间的等价性。
• 利用 $\ell$-进上同调和 Néron–Severi 模形式的结构，对固定的 $\ell$、$r$ 和判别式，界定 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 中 $\ell$-主 torsion。
• 应用类域论和分圆域理论，将椭圆曲线的算术与曲面 Brauer 群的算术联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定次数的数域上几何同构于同源非 CM 椭圆曲线积的曲面，$\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 中奇 torsion 的大小是否存在强统一有界性？
• RQ2 若 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 中奇 torsion 存在强统一有界性，是否意味着非 CM 椭圆曲线具有阿贝尔 $n$-分圆域的整数 $n$ 也存在统一有界性？
• RQ3 对固定的 $\ell$、数域的固定次数 $r$ 以及几何 Néron–Severi 模形式的固定判别式，$\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 的 $\ell$-主 torsion 是否可统一有界？
• RQ4 几何 Néron–Severi 模形式的结构如何约束这些曲面的 Brauer 群模代数类？
• RQ5 非 CM 椭圆曲线之间的同源在决定 Brauer 群 torsion 的统一有界性中起什么作用？

主要发现

• 非 CM 椭圆曲线具有阿贝尔 $n$-分圆域的整数 $n$ 的强统一有界性存在性，等价于 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 中奇 torsion 的强统一有界性存在性。
• 对固定的素数 $\ell$，$\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$ 的 $\ell$-主 torsion 由仅依赖于 $\ell$、数域的次数 $r$ 和几何 Néron–Severi 模形式判别式的常数统一有界。
• $\#(\text{Br}Y/\text{Br}_1Y)[\ell^{\infty}]$ 的界对所有具有固定 $\ell$、$r$ 和 Néron–Severi 模形式判别式的此类曲面都是统一的。
• 结果适用于几何同构于同源非 CM 椭圆曲线积的曲面以及几何 Kummer 曲面，这两类曲面均由其几何 Néron–Severi 模形式表征。
• 所用方法依赖于分圆域的伽罗瓦表示与 Brauer 群上同调结构之间的相互作用。
• 本文建立了 Brauer 群 torsion 有界性与非 CM 椭圆曲线分圆域度数有界性之间精确的算术-几何对应关系。