[论文解读] Abelian topological groups with host algebras

Hendrik Grundling, Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|May 16, 2006

Advanced Operator Algebra Research被引用 6

一句话总结

本文利用布莱克达勒的非单位化 C*-代数的无限张量积，构建了一个 C*-代数，以在可数无限维辛空间 (S,B) 上对标准对易关系（CCRs）进行建模。该代数作为阿贝尔群 S 的 σ-表示理论的宿主代数，其表示空间恰好由正规表示构成，从而可实现不可约正规表示的直接积分分解。

ABSTRACT

The Weyl algebra,- the usual C*-algebra employed to model the canonical commutation relations (CCRs), has a well-known defect in that it has a large number of representations which are not regular and these cannot model physical fields. Here, we construct explicitly a C*-algebra which can reproduce the CCRs of a countably dimensional symplectic space (S,B) and such that its representation set is exactly the full set of regular representations of the CCRs. This construction uses Blackadar's version of infinite tensor products of nonunital C*-algebras, and it produces a host (i.e. a generalised group algebra, explained below) for the \sigma-representation theory of the abelian group S where \sigma(.,.):=e^{iB(.,.)/2}. As an easy application, it then follows that for every regular representation of the Weyl algebra of (S,B) on a separable Hilbert space, there is a direct integral decomposition of it into irreducible regular representations (a known result). An Erratum for this paper is added at the end.

研究动机与目标

• 为解决标准 Weyl 代数的缺陷，该缺陷包含不适合物理场模型的非正规表示。
• 构建一个 C*-代数，其表示空间完全捕捉在可数无限维辛空间上的 CCRs 的正规表示。
• 为阿贝尔群 S 的 σ-表示理论建立一个宿主代数，其中 σ(x,y) = exp(iB(x,y)/2)。
• 提供一个严格的代数框架，确保每个在可分希尔伯特空间上的正规表示均可分解为不可约分量的直接积分。

提出的方法

• 利用布莱克达勒的非单位化 C*-代数的无限张量积版本来构建目标 C*-代数。
• 将 C*-代数定义为阿贝尔群 S 的 σ-表示理论的宿主代数，其中 σ(x,y) = exp(iB(x,y)/2)。
• 以一种使代数的表示恰好对应于 (S,B) 上 CCRs 的正规表示的方式构造该代数。
• 利用辛空间 (S,B) 的结构，通过指数因子 exp(iB(x,y)/2) 参数化对易关系。
• 应用宿主代数理论，确保表示空间恰好是正规表示的集合。
• 证明每个在可分希尔伯特空间上的正规表示均可分解为不可约正规表示的直接积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个 C*-代数，使其表示恰好为可数无限维辛空间上的 CCRs 的正规表示？
• RQ2 如何利用非单位化 C*-代数的无限张量积来实现阿贝尔群 σ-表示的宿主代数？
• RQ3 所构造的 C*-代数是否允许每个正规表示分解为不可约分量的直接积分？
• RQ4 C*-代数必须具备何种结构特性，才能作为阿贝尔群 σ-表示理论的宿主代数？
• RQ5 能否通过新的代数构造系统性地消除标准 Weyl 代数的缺陷——即其包含非正规表示？

主要发现

• 所构造的 C*-代数实现了阿贝尔群 S 的 σ-表示理论的宿主代数，其中 σ(x,y) = exp(iB(x,y)/2)。
• 该 C*-代数的表示空间恰好由辛空间 (S,B) 上 CCRs 的正规表示构成。
• Weyl 代数在可分希尔伯特空间上的每个正规表示均可分解为不可约正规表示的直接积分。
• 该构造依赖于布莱克达勒的非单位化 C*-代数的无限张量积，以确保正确的表示结构。
• 所得到的代数消除了非正规表示，解决了标准 Weyl 代数的一个已知缺陷。
• 该方法为仅通过物理上可接受的表示来建模物理场提供了规范框架。