[论文解读] Abelian varieties over Q and modular forms

Kenneth A. Ribet|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 1992

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 11

一句话总结

本文提出了对代数闭包 Q̄ 上椭圆曲线的一种猜想性刻画，这些曲线预期可被标准模曲线覆盖，重点研究非复乘 Q-曲线——即与所有其伽罗瓦共轭都同源的椭圆曲线。论文证明，此类 Q-曲线恰好是定义在 Q 上的 GL(2)-型阿贝尔簇的 Q̄-单个因子；在 Serre 模形式猜想成立的前提下，这些 Q-曲线恰好是某些 N ≥ 1 的雅可比簇 J₁(N) 的单个因子。

ABSTRACT

This paper gives a conjectural characterization of those elliptic curves over the field of complex numbers which "should" be covered by standard modular curves. The elliptic curves in question all have algebraic j-invariant, so they can be viewed as curves over Q-bar, the field of algebraic numbers. The condition that they satisfy is that they must be isogenous to all their Galois conjugates. Borrowing a term from B.H. Gross, "Arithmetic on elliptic curves with complex multiplication," we say that the elliptic curves in question are "Q-curves." Since all complex multiplication elliptic curves are Q-curves (with this definition), and since they are all uniformized by modular forms (Shimura), we consider only non-CM curves for the remainder of this abstract. We prove: 1. Let C be an elliptic curve over Q-bar. Then C is a Q-curve if and only if C is a Q-bar simple factor of an abelian variety A over Q whose algebra of Q-endomorphisms is a number field of degree dim(A). (We say that abelian varieties A/Q with this property are of "GL(2) type.") 2. Suppose that Serre's conjecture on mod p modular forms are correct (Ref: Duke Journal, 1987). Then an abelian variety A over Q is of GL(2)-type if and only if it is a simple factor (over Q) of the Jacobian J_1(N) for some integer N\ge1. (The abelian variety J_1(N) is the Jacobian of the standard modular

研究动机与目标

• 刻画预期可被模形式统一化的 Q̄ 上椭圆曲线，重点研究非复乘曲线。
• 定义并研究 Q-曲线——即与所有其伽罗瓦共轭同源的椭圆曲线——作为具有潜在模形式性质的曲线类。
• 建立 Q-曲线与 Q 上 GL(2)-型阿贝尔簇之间的确切联系。
• 将 Q 上阿贝尔簇的模形式性质与经典模雅可比簇 J₁(N) 联系起来。
• 证明在 Serre 模形式猜想成立的前提下，所有 Q 上的 GL(2)-型阿贝尔簇恰好是某个 N 的 J₁(N) 的单个因子。

提出的方法

• 将 Q-曲线定义为在 Q̄ 上且与所有其伽罗瓦共轭同源的椭圆曲线。
• 将 Q 上的 GL(2)-型阿贝尔簇刻画为那些其绝对简单 Q-自同态代数的次数等于其维数的阿贝尔簇。
• 利用模参数化理论及 Shimura 关于复乘的研究，建立对复乘曲线的模形式性质。
• 应用 Serre 关于模 p 模形式的猜想，推导出 Q 上的 GL(2)-型阿贝尔簇是雅可比簇 J₁(N) 的单个因子。
• 运用伽罗瓦理论技术分析数域上阿贝尔簇的同源类与自同态代数。
• 利用 Hecke 代数的结构及 Eichler–Shimura 关系，将模形式与阿贝尔簇联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 Q̄ 上的椭圆曲线预期可被标准模曲线统一化？
• RQ2 刻画此类曲线为 Q-曲线的精确代数几何条件是什么？
• RQ3 Q 上的 GL(2)-型阿贝尔簇与模雅可比簇 J₁(N) 之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下，Q 上的 GL(2)-型阿贝尔簇会成为某个 N 的 J₁(N) 的单个因子？
• RQ5 Serre 的模形式猜想在连接 Q 上的模形式与阿贝尔簇方面起什么作用？

主要发现

• Q̄ 上的椭圆曲线 C 是 Q-曲线，当且仅当它是定义在 Q 上的阿贝尔簇 A 的 Q̄-单个因子，且 A 的 Q-自同态代数是一个次数等于 dim(A) 的数域。
• 在 Serre 关于模 p 模形式的猜想成立的前提下，所有 Q 上的 GL(2)-型阿贝尔簇都恰好是某个 N ≥ 1 的 J₁(N) 的单个因子。
• Q-曲线类包括所有复乘椭圆曲线，这些曲线已知可通过 Shimura 理论被模形式统一化。
• 非复乘 Q-曲线的特征是其在伽罗瓦共轭下保持同源不变，这一性质使其与模形式性质相关联。
• 在 Serre 猜想假设下，Q 上 GL(2)-型阿贝尔簇的模形式性质等价于其作为 J₁(N) 的单个因子出现。
• 本文建立了 Q-曲线算术与模雅可比簇几何之间的确切对应关系。