[论文解读] Abelian varieties over Q with bad reduction in one prime only

René Schoof|ArXiv.org|Feb 16, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文分类了在除单个素数 l 外具有良好约化的 Q 上的半稳定阿贝尔簇，证明了非零此类阿贝尔簇仅在 l = 11 时存在，而当 l = 2, 3, 5, 7, 13 时，不存在非零半稳定阿贝尔簇。此外，还证明了仅当 l = 2, 3, 5 时，存在在某个可分挠扩张上获得半稳定约化的阿贝尔簇。这些结果依赖于在 Z[1/l] 上的范畴 C 和 D 中分析 p-幂挠群概形，利用上同调准则和 p-可除群的性质，对某些 l 推导出矛盾。

ABSTRACT

Let l be a prime. We show that there do not exist any non-zero semi-stable abelian varieties over Q with good reduction outside l if and only if l=2, 3, 5, 7 or 13. We show that any semi-stable abelian variety over Q with good reduction outside l=11 is isogenous to a power of the Jacobian variety of the modular curve X_0(11). In addition we show that there do not exist any non-zero abelian varieties over Q with good reduction outside l acquiring semi-stable reduction at l over a tamely ramified extension if and only if l \le 5.

研究动机与目标

• 本文旨在分类在除单个素数 l 外具有良好约化的 Q 上的半稳定阿贝尔簇。
• 研究此类非零阿贝尔簇存在的素数 l，特别关注在半稳定或可分挠半稳定约化条件下的情况。
• 研究旨在确定当阿贝尔簇在 Q 上除 l 外具有良好约化时，其是否同源至 J0(l) 或 J0(l²) 的幂。
• 旨在建立关于 l 的精确数论条件，使得此类阿贝尔簇不存在，且不依赖于未被证明的假设。
• 研究使用群概形理论和伽罗瓦表示，推导出有限性和非存在性结果。

提出的方法

• 本文引入了两个范畴 C 和 D，即在 Z[1/l] 上的 p-幂阶有限平坦群概形，分别捕捉可分挠和幂零单连通作用。
• 提出了两个非存在性准则：一个涉及在 Z[1/l] 上对 µp 与 Z/pZ 的扩张，另一个涉及范畴 C 和 D 中的单对象。
• 作者计算了范畴 D 中的扩张，并对小对 (p,l)（特别是 l = 2,3,5,7,11,13）分类了单对象。
• 当 l = 11 时，方法发生偏离，因为出现了如 J0(11) 的 2-挠群概形等“奇异”群概形，需通过 p-可除群进行单独分析。
• 关键技巧在于分析惯性作用在 pn-挠点 A[pn] 上的行为，并证明当 l = 2,3,5,7,13 时，此类群概形必须是常值概形与对角化群概形的扩张，若 dim(A) > 0 则导致矛盾。
• 对于 l = 11 的证明使用了关于 p-可除群的定理（定理 8.3）和一个关于滤子的推论，表明任何此类 H 同构于 G 的幂。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些素数 l，存在非零半稳定阿贝尔簇，其在 Q 上除 l 外具有良好约化？
• RQ2 对于哪些素数 l，存在非零阿贝尔簇，其在 Q 上除 l 外具有良好约化，并在 l 处于可分挠扩张上获得半稳定约化？
• RQ3 每个在 Q 上除 l = 11 外具有良好约化的半稳定阿贝尔簇是否同源至 J0(11) 的幂？
• RQ4 对于在 Q 上除 l 外具有良好约化，并在 l 处具有半稳定或可分挠半稳定约化的阿贝尔簇，其 p-幂挠群概形 A[pn] 的结构约束为何？
• RQ5 在 Z[1/l] 上的群概形范畴 C 和 D 如何分类此类阿贝尔簇的扭点上伽罗瓦作用？

主要发现

• 当且仅当 l = 2, 3, 5, 7 或 13 时，Q 上不存在非零半稳定阿贝尔簇，其在除 l 外具有良好约化。
• 每个在 Q 上除 11 外具有良好约化的半稳定阿贝尔簇同源至雅可比簇 J0(11) 的幂。
• 当且仅当 l = 2, 3 或 5 时，Q 上不存在非零阿贝尔簇，其在除 l 外具有良好约化，并在可分挠扩张上于 l 处获得半稳定约化。
• 当 l = 11 时，J0(11) 的 2-挠子概形是一个“奇异”群概形，不与常值概形与对角化群概形的扩张同构。
• 该分类依赖于范畴 D 和 C 中的 Ext¹ 上同调准则，以及具有整环作为自同态环的 p-可除群的结构。
• 结果是无条件的，不依赖于未被证明的假设（如广义黎曼猜想），与 Mestre 和 Calegari 的条件性结果形成对比。