[论文解读] About construction of orthogonal wavelets with compact support and with scaling coefficient N

Paulina Podkur, N. K. Smolentsev|ArXiv.org|May 29, 2007

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种简单且系统化的方法，用于构造具有任意整数缩放因子 $N \geq 2$ 的紧支撑正交小波，采用具有实多项式系数的酉多相矩阵。通过参数化正交矩阵并利用特殊矩阵 $R(z)$ 进行变换，该方法生成了有效的尺度函数和 $N-1$ 个正交小波，对 $N=2$ 和 $N=3$ 提供了显式构造，包括滤波器系数和多分辨率分析方程。

ABSTRACT

In this paper a simple method of construction of scaling function $ϕ(x)$ and orthogonal wavelets with the compact support for any natural coefficient of scaling $N\ge 2$ is given. Examples of construction of wavelets for coefficients of scaling N=2 and N=3 are produced.

研究动机与目标

• 开发一种通用且系统化的方法，用于构造具有紧支撑和任意缩放因子 $N \geq 2$ 的正交小波。
• 通过简化具有实多项式系数的多相矩阵 $A(w)$ 的设计，克服先前构造方法的复杂性。
• 实现对任意 $N \geq 2$ 的尺度函数 $\varphi(x)$ 和 $N-1$ 个正交小波 $\psi^k(x)$ 的显式构造。
• 为 $N=2$ 和 $N=3$ 提供具体的小波系统实例，包含闭式表达的滤波器系数和多分辨率分析方程。
• 通过在频响上施加酉矩阵条件，确保所构造的小波在 $L^2(\mathbb{R})$ 中构成标准正交基。

提出的方法

• 通过组合一个正交矩阵 $A_0$、一个对角酉矩阵 $D_k(w)$ 和另一个正交矩阵 $B_0$，构造一个具有实多项式系数的酉矩阵 $A(w)$，并确保 $A(w)$ 在单位圆上保持酉性。
• 利用变换 $H(z) = A(z^N) R(z)$，其中 $R(z)$ 是由单位根导出的固定酉矩阵，生成小波的频响矩阵。
• 通过逆傅里叶变换从频响函数 $H_k(z)$ 推导出小波滤波器 $g^k_n$，确保正交性和紧支撑性。
• 利用多分辨率分析方程 $\varphi(x) = \sqrt{N} \sum_n h_n \varphi(Nx - n)$ 和小波分解方程 $\psi^k(x) = \sqrt{N} \sum_n g^k_n \varphi(Nx - n)$ 重构尺度函数 $\varphi(x)$ 和小波 $\psi^k(x)$。
• 通过构造保证 $H(z)$ 为酉矩阵，从而确保小波基在 $L^2(\mathbb{R})$ 中的正交性。
• 通过 $N=2$ 和 $N=3$ 的显式实例验证该方法，包括滤波器系数和 $\varphi(x)$、$\psi^1(x)$、$\psi^2(x)$ 的图形表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统化地构造任意整数缩放因子 $N \geq 2$ 的紧支撑正交小波？
• RQ2 是否存在一种简单且通用的方法，用于生成具有实多项式系数的多相矩阵 $A(w)$，以确保所构造小波的正交性？
• RQ3 能否将小波构造简化为正交矩阵的参数化族，从而支持多样化的正交小波系统？
• RQ4 在构造中使用的参数 $t$ 取不同值时，滤波器系数和多分辨率分析方程如何变化？
• RQ5 当支撑集非平凡且非均匀时，尺度函数 $\varphi(x)$ 的结构和分形特性是什么？

主要发现

• 建立了一种通用且简单的方法，用于使用具有实多项式系数的酉多相矩阵，构造具有任意缩放因子 $N \geq 2$ 的紧支撑正交小波。
• 对于 $N=3$，在参数 $t = \pi/12, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2, 2\pi/3, \pi, 4\pi/3$ 下，显式推导出 $h_n$、$g^1_n$ 和 $g^2_n$ 的滤波器系数，并提供了闭式表达式。
• 当 $t = 2\pi/3$ 时，尺度函数 $\varphi(x)$ 对应于哈尔小波系统，且 $\varphi(x) = \chi_{[1/2, 3/2)}(x)$，与已知正交小波一致。
• 当 $t = 4\pi/3$ 时，尺度函数 $\varphi(x)$ 展现出类似分形的支撑结构，具有非均匀且复杂的几何特征。
• 对于 $N=3$，多分辨率分析方程明确给出为 $\varphi(x) = \frac{1}{3} \left( (2-\sqrt{3})\varphi(3x) + 2\varphi(3x-1) + \cdots + (1-\sqrt{3})\varphi(3x-5) \right)$，系数精确。
• 图形结果（图 7–13）证实了所构造小波的紧支撑性和正交性，$\psi^1(x)$ 和 $\psi^2(x)$ 在 $L^2(\mathbb{R})$ 中构成标准正交基。