[论文解读] About Decisiveness of Dynamic Probabilistic Models

Alain Finkel, Serge Haddad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Formal Methods in Verification被引用 2

一句话总结

本文提出一种动态概率计数器机（pCM），用于建模状态依赖转移权重的系统，证明了在一般情况下，计算可达性概率所需的关键性质—— decisiveness（决定性）是不可判定的，即使在常数权重下也是如此。然而，对于具有多项式权重的一维计数器pCM以及正则概率Petri网（pPN），尽管在更广泛的类别（如具有多项式权重的pPN）中不可判定，其决定性仍可判定。

ABSTRACT

Decisiveness of infinite Markov chains with respect to some (finite or infinite) target set of states is a key property that allows to compute the reachability probability of this set up to an arbitrary precision. Most of the existing works assume constant weights for defining the probability of a transition in the considered models. However numerous probabilistic modelings require the (dynamic) weight to also depend on the current state. So we introduce a dynamic probabilistic version of counter machine (pCM). After establishing that decisiveness is undecidable for pCMs even with constant weights, we study the decidability of decisiveness for subclasses of pCM. We show that, without restrictions on dynamic weights, decisiveness is undecidable with a single state and single counter pCM. On the contrary with polynomial weights, decisiveness becomes decidable for single counter pCMs under mild conditions. Then we show that decisiveness of probabilistic Petri nets (pPNs) with polynomial weights is undecidable even when the target set is upward-closed unlike the case of constant weights. Finally we prove that the standard subclass of pPNs with a regular language is decisive with respect to a finite set whatever the kind of weights.

研究动机与目标

• 形式化过渡权重依赖于状态和过渡的动态概率模型，超越静态权重的限制。
• 研究此类模型中决定性的可判定性，特别是针对概率计数器机（pCM）和概率Petri网（pPN）。
• 识别在一般情况下不可判定的情况下，决定性变为可判定的子类。
• 建立决定性、常返性以及无限状态模型中马尔可夫链结构特性之间的联系。

提出的方法

• 引入一种动态概率计数器机（pCM），其中转移概率由依赖于状态和过渡的权重导出。
• 通过从计数器机停机问题的约化，证明即使在常数权重下，pCM的决定性也是不可判定的。
• 定义pCM的一个子类，称为同质概率计数器机（pHM），其权重为多项式函数，在温和条件下决定性可判定。
• 使用弱模拟技术，将计数器机的停机问题约化为具有多项式权重的pPN中的可达性问题，从而证明不可判定性。
• 通过使用可计算的边界 B(N, m0) 进行有界标记分析，为正则pPN构造有限马尔可夫链，从而实现可判定性证明。
• 通过基于 B(N, m0) 限制可达标记，构建有限图，确保终止性，并支持对底强连通分量（BSCCs）的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有通用动态权重的动态概率计数器机（pCMs），决定性是否可判定？
• RQ2 当过渡权重为状态和计数器值的多项式函数时，一维计数器pCM的决定性是否可判定？
• RQ3 对于具有多项式权重的概率Petri网（pPNs），特别是目标集为有限或上闭集时，决定性是否可判定？
• RQ4 标准pPN子类（具有正则语言）是否无论权重函数类型如何，始终具有决定性？

主要发现

• 对于一般pCM，即使过渡权重为常数，决定性也是不可判定的，这是由于从计数器机停机问题的约化所致。
• 对于具有多项式权重的一维计数器pCM，在温和条件下决定性可判定，从而确立了一个新的可判定子类，称为同质概率计数器机（pHM）。
• 对于具有多项式权重的pPN，决定性是不可判定的，即使目标集为有限或上闭集，这与常数权重下已知的可判定性形成对比。
• 对于具有正则语言的pPN（即正则标记Petri网），无论权重函数类型如何，其决定性对于任意有限目标标记都是可判定的。
• pPN具有多项式权重时的不可判定性证明，依赖于一种新颖的弱模拟方法，即使用具有动态权重的概率网模拟计数器机。
• 通过使用可计算边界 B(N, m0)，可为正则pPN构造有限马尔可夫链，从而通过BSCC分析实现精确可达性概率计算。