[论文解读] About Goto's method showing surjectivity of word maps

Abdelrhman Elkasapy, Andreas Thom|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文将 G{ô}to 的方法推广，证明对于自由群两个生成元的任意字 $\omega$，若 $\omega$ 不属于第二导出子群 ${\mathbf{F}}^{(2)}$，则其对应的字映射 $\omega: SU(n) \times SU(n) \to SU(n)$ 对所有但有限多个 $n$ 是满射，且当 $n$ 的最小素因子足够大时，满射性对所有 $n$ 成立。该结果为 Larsen 关于 $SU(n)$ 群上字映射满射性的猜想提供了强有力证据。

ABSTRACT

Let F be the free group on two letters. For ω \in F we study the associated word map ω: SU(n) imes SU(n) ightarrow SU(n). Extending a method of Goto, we show that for ω not in the second derived subgroup F^(2) of F, there are infinitely many n \in N such that the associated word map ω : SU(n) imes SU(n) ightarrow SU(n) is surjective.

研究动机与目标

• 为 Michael Larsen 的猜想提供证据，即对所有足够大的 $n$，$SU(n) \times SU(n)$ 上的任意非平凡字映射都是满射。
• 将 G{ô}to 的经典方法从换位子映射的满射性证明推广至更广范围的字。
• 建立关于 $\mathbf{F} \setminus \mathbf{F}^{(2)}$ 中元素所关联的字映射在 $SU(n)$ 上满射性的条件。
• 研究 Engel 字映射的满射性，并证明其对所有 $n$ 均为满射。

提出的方法

• 为每个 $\omega \in \mathbf{F}^{(1)}$ 定义一个多项式不变量 $p_\omega(t)$，通过自由群在交换化群 $\mathbf{F}^{(1)}/\mathbf{F}^{(2)}$ 上的作用来定义。
• 在自由群中进行基变换，将 $\omega$ 变形为可分析 $p_\omega(t)$ 在单位根处是否不为零的形式。
• 利用 $a$ 和 $b$ 对换位子的共轭作用，推导出 $p_\omega(t)$ 的递推关系，特别是 $p_{[\omega,b]}(t) = (1-t)p_\omega(t) + t p_\omega(1)$。
• 利用 $p_\omega(t)$ 作为多项式不恒为零的事实，确保字映射不包含于任何真代数子群。
• 利用 $\mathbf{F}^{(1)}/\mathbf{F}^{(2)}$ 作为 $\mathbb{Z}[\mathbf{F}]$-模的结构，分析 $p_\omega(t)$ 在自同构作用下的行为。
• 应用推论 3.2，该推论将 $p_\omega(t)$ 在单位根处的非零性与字映射的满射性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些字 $\omega \in \mathbf{F}$，字映射 $\omega: SU(n) \times SU(n) \to SU(n)$ 对所有足够大的 $n$ 是满射？
• RQ2 G{ô}to 的方法能否推广至第二导出子群 $\mathbf{F}^{(2)}$ 之外的字，以证明其满射性？
• RQ3 定理 1.1 中对 $n$ 的限制（要求 $\mathrm{lpf}(n) \geq k$）是否必要？能否证明对所有 $n$ 满射性成立？
• RQ4 Engel 字映射 $e_k(a,b)$ 是否对所有 $n$ 和所有 $k$ 在 $SU(n)$ 上都是满射？
• RQ5 多项式不变量 $p_\omega(t)$ 能否统一用于判断所有 $n$ 上字映射的满射性？

主要发现

• 对任意 $\omega \in \mathbf{F} \setminus \mathbf{F}^{(2)}$，存在整数 $k$，使得字映射 $\omega: SU(n) \times SU(n) \to SU(n)$ 对所有满足 $\mathrm{lpf}(n) \geq k$ 的 $n$ 都是满射。
• $k$-阶 Engel 字映射 $e_k: SU(n) \times SU(n) \to SU(n)$ 对所有 $n$ 和所有 $k \in \mathbb{N}$ 都是满射，且 $p_{e_k}(t) = (1-t)^k$。
• 若 $\omega \notin \mathbf{F}^{(2)}$，则与 $\omega$ 关联的多项式 $p_\omega(t)$ 非零，且在所有单位根处不为零，从而保证了满射性。
• 映射 $\bar{p}: \mathbf{F}^{(1)}/\mathbf{F}^{(2)} \to \mathbb{Z}[t,t^{-1}]$ 是 $\mathbb{Z}[\mathbf{F}]$-模的同态，为分析字映射提供了结构性框架。
• 该方法对 $\mathbf{F}^{(2)}$ 中的字不适用，此类字的字映射满射性仍为开放问题，例如 $\omega = [[a,b],[a^2,b^2]]$。
• 若问题 4.4 的答案为肯定：对任意 $\xi \in \mathbf{F}^{(1)}/\mathbf{F}^{(2)}$，存在自同构 $\alpha$ 使得 $\bar{p}(\alpha(\xi))$ 仅以 1 为单位根，则定理 1.1 中对 $n$ 的限制可被消除。