[论文解读] About new Inverse Formulas of the Transformation of Laplace

A. V. Pavlov-Maxorin|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Differential Equations and Boundary Problems被引用 1

一句话总结

本文利用傅里叶变换技术，建立了在零点开邻域内拉普拉斯变换的正则性，特别分析了在零点处缺乏正则性但在穿孔邻域内正则的函数的拉普拉斯变换。主要贡献是为在原点非正则的函数提供了新的拉普拉斯变换反演公式。

ABSTRACT

Regularity of the transform of Laplace in the opened area of 0 is proved with help of some methods of the transform of Fourier. The class of the transform of Laplace from the transform of Fourier is considered from some functions without a regularity in null. The functions are regular in the opened area of 0.

研究动机与目标

• 研究拉普拉斯变换在零点穿孔邻域内的正则性特性。
• 分析在零点处不正则但在定义域其他区域正则的函数的拉普拉斯变换。
• 为适用于原点非光滑函数的拉普拉斯变换建立新的反演公式。
• 应用傅里叶变换方法，推导在零点缺乏逐点正则性时拉普拉斯变换的性质。

提出的方法

• 利用傅里叶变换技术分析在零点附近开区域中拉普拉斯变换的正则性。
• 考虑从在零点不正则的函数的傅里叶变换导出的拉普拉斯变换类。
• 研究在零点穿孔邻域内解析或正则的函数，但不包括原点。
• 应用泛函分析方法，连接奇异情形下傅里叶与拉普拉斯变换的性质。
• 通过在有限正则性条件下利用拉普拉斯与傅里叶变换之间的关系，推导反演公式。
• 建立在零点缺乏正则性时拉普拉斯变换在周围区域仍保持良好行为的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当原函数在零点处缺乏正则性时，如何在零点的穿孔邻域内建立拉普拉斯变换的正则性？
• RQ2 在原点处函数不规则的背景下，傅里叶变换与拉普拉斯变换之间有何关系？
• RQ3 能否为在零点奇异但在其他地方正则的函数推导出拉普拉斯变换的新反演公式？
• RQ4 哪类函数允许应用基于傅里叶的方法来分析零点附近的拉普拉斯变换行为？
• RQ5 在零点存在逐点奇点时，拉普拉斯变换在零点开邻域内保持正则性的条件是什么？

主要发现

• 证明了当原函数在零点处不正则但在穿孔区域正则时，拉普拉斯变换在零点的开邻域内是正则的。
• 即使原函数在原点缺乏光滑性，傅里叶变换方法仍成功建立了拉普拉斯变换的正则性性质。
• 识别出一类新函数，其拉普拉斯变换在零点穿孔邻域内保持定义良好且正则。
• 本文推导出适用于在零点非正则但在其他地方解析的函数的新拉普拉斯变换反演公式。
• 以一种形式化方式建立了傅里叶变换与拉普拉斯变换之间的联系，使得在有限正则性条件下仍可分析变换的性质。
• 结果表明，零点处正则性的缺失并不必然导致拉普拉斯变换在周围开区域内的正则性丧失。