[论文解读] About Some Quadratic Scalar Curvatures and the $h_{4}$ Yamabe Equation

Mohammed Larbi Labbi|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文研究了维度 $n \geq 4$ 的闭黎曼流形上的 $h_4$ Yamabe 问题，建立了第四高斯-邦内特曲率 $h_4$ 与 $\sigma_2$ 曲率之间的直接公式，并证明了即使在某些情况下 $\sigma_2$ 曲率为负，$h_4$ 仍可在维度 $n \geq 6$ 的 $n$-环面 上为正。本文引入广义牛顿变换，推导出所有高斯-邦内特曲率的 Avez 型公式，并证明 $h_4$-Yamabe 方程在共形因子下是变分的且完全非线性。

ABSTRACT

This is a paper based on a talk given at the conference on Conformal Geometry which held at Roscoff in France in the 2008 summer. We study some aspects of the equation arising from the problem of the existence on a given closed Riemannian manifold of dimension at leat 4, of a conformal metric with constant $h_4$ curvature. We establish a simple formula relating the second Gauss-Bonnet curvature $h_4$ to the $σ_2$ curvature and we study some positivity properties of these two quadratic curvatures. We use different quadratic curvatures to characterize space forms, Einstein metrics and conformally flat metrics. In the appendix we introduce natural generalizations of Newton transformations, the corresponding Newton identities are used to obtain Avez type formulas for all the Gauss-Bonnet curvatures.

研究动机与目标

• 研究维度 $n \geq 4$ 的闭黎曼流形上是否存在具有常数 $h_4$ 曲率的共形度量。
• 建立 $h_4$ 与 $\sigma_2$ 曲率之间精确的代数关系。
• 利用 $h_4$ 和 $\sigma_2$ 曲率刻画空间形式、爱因斯坦度量和共形平坦度量。
• 推广牛顿变换并推导所有高斯-邦内特曲率的迹恒等式。
• 制定并分析维度 $n \geq 4$ 下的完全非线性 $h_4$-Yamabe 方程。

提出的方法

• 使用双形式的外代数来定义并关联 $h_{2k}$、$\sigma_k$ 和爱因斯坦-洛夫洛克张量。
• 通过曲率收缩和迹恒等式推导出连接 $h_4$ 与 $\sigma_2$ 的闭式表达式。
• 应用广义牛顿变换 $N_{pk}$ 将高斯-邦内特曲率表示为曲率张量的内积。
• 证明 $h_4$-Yamabe 方程是 $H_4$ 泛函在共形变换下变分的欧拉-拉格朗日方程。
• 建立广义牛顿算子 $N_p$ 的共形不变性和自伴性。
• 利用恒等式 $\langle N_{2k}(R), R \rangle = h_{2k+2}$ 推导出所有 $h_{2k}$ 曲率的 Avez 型公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黎曼流形上，二次曲率 $h_4$ 与 $\sigma_2$ 之间的代数关系是什么？
• RQ2 即使 $\sigma_2$ 为负，$h_4$ 曲率是否可能在如 $T^n$ 这类紧致流形上为正，特别是当 $n \geq 6$ 时？
• RQ3 度量具有常数 $h_4$ 或 $\sigma_2$ 曲率的充要条件是什么？
• RQ4 广义牛顿变换如何将经典恒等式推广至更高阶的高斯-邦内特曲率？
• RQ5 维度 $n \geq 4$ 下 $h_4$-Yamabe 方程的精确形式是什么？它是否是变分的？

主要发现

• 推导出一个简洁公式：$h_4 = \sigma_2 - \frac{1}{2}|cR|^2 + \frac{1}{4}|c^2R|^2$，建立了 $h_4$ 与 $\sigma_2$ 曲率之间的关系。
• 对于所有 $n \geq 6$，$n$ 维环面 $T^n$ 存在具有常数正 $h_4$ 曲率的度量，即使在某些情况下 $\sigma_2$ 曲率为负。
• 存在一种度量，其截面曲率为非负，里奇曲率为正，爱因斯坦曲率为正，$h_4$ 为正，但 $\sigma_2 < 0$，这表明 $h_4$ 与 $\sigma_2$ 的符号行为并不等价。
• $h_4$-Yamabe 方程被证明是如下形式的完全非线性偏微分方程：$h_4 + \mathcal{L}_g(f) = \lambda e^{4f}$，其中 $\mathcal{L}_g(f)$ 是一类拉普拉斯型的非线性微分算子。
• 引入广义牛顿变换 $N_{pk}$，并证明 $h_{2k+2} = \langle N_{2k}(R), R \rangle$，从而为所有高斯-邦内特曲率建立了新的 Avez 型公式。
• $h_{2k}$-Yamabe 问题在 $n > 2k$ 时被证明是变分的，且 $h_4$-Yamabe 方程被证明是 $H_4$ 泛函在共形变换下的欧拉-拉格朗日方程。