[论文解读] About split quaternion algebras over quadratic fields and symbol algebras of degree $n$

Diana Savin|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文建立了四元数代数在二次域上分裂的充分条件，并将先前结果推广至构造 $ p $-进域和分圆域上非分裂符号代数（度数 $ n \geq 3 $）。利用局部类域论与亨泽尔引理，证明当 $ \alpha $ 对任意 $ l \mid n $ 均非模 $ p $ 的 $ l $ 次幂剩余时，符号代数 $ \left(\frac{a,b}{K,\xi}\right) $ 在 $ \mathbb{Q}_p $ 和 $ K = \mathbb{Q}(\xi) $ 上保持非分裂，从而将此前针对素数 $ n $ 的结果扩展。关键贡献在于为合数 $ n $ 系统地构造了非分裂符号代数。

ABSTRACT

In this paper we determine sufficient conditions for a quaternion algebra to split over a quadratic field. In the last section of the paper, we find a class of division symbol algebras of degree $n$ (where $n$ is a positive integer, $n\geq 3$) over a $p-$ adic field or over a cyclotomic field.

研究动机与目标

• 确定四元数代数在二次域上分裂的充分条件。
• 将关于 $ \mathbb{Q}(i) $ 上的除法四元数代数的早期结果推广至任意度数 $ n \geq 3 $ 的符号代数。
• 识别 $ p $-进域与分圆域上的一类非分裂符号代数。

提出的方法

• 应用阿尔伯特–布劳尔–哈塞–诺特定理与布劳尔群理论以分析分裂行为。
• 利用亨泽尔引理将 $ \mathbb{F}_p $ 上的扩张提升至 $ \mathbb{Q}_p $，确保得到非分歧循环扩张。
• 通过局部域中的范数群使用符号代数分裂的判别准则。
• 要求 $ p \equiv 1 \pmod{n} $，以保证 $ \mathbb{Q}_p $ 中存在 $ n $ 次单位根，从而实现 $ \left(\frac{\alpha,p}{\mathbb{Q}_p,\xi}\right) $ 的构造。
• 施加条件：对任意 $ l \mid n $，$ \alpha $ 均非模 $ p $ 的 $ l $ 次幂剩余，以确保扩张次数恰好为 $ n $。
• 利用当 $ p \equiv 1 \pmod{n} $ 时 $ K = \mathbb{Q}(\xi) \subset \mathbb{Q}_p $ 的事实，实现向分圆域的基域变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 四元数代数 $ H_K(p,q) $ 在二次域 $ K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) $ 上分裂的条件是什么？
• RQ2 度数 $ n \geq 3 $ 的符号代数 $ \left(\frac{a,b}{K,\xi}\right) $ 何时在 $ p $-进域上非分裂？
• RQ3 何种条件可确保此类符号代数在分圆域 $ \mathbb{Q}(\xi) $ 上保持非分裂？
• RQ4 当 $ \alpha $ 不是模 $ p $ 的 $ l $ 次幂剩余时，其对符号代数结构有何影响？
• RQ5 能否将素数 $ n $ 的结果推广至合数 $ n $？

主要发现

• 若 $ p \equiv 1 \pmod{n} $ 且对任意 $ l \mid n $，$ \alpha $ 均非模 $ p $ 的 $ l $ 次幂剩余，则 $ \left(\frac{\alpha,p}{\mathbb{Q}_p,\xi}\right) $ 是 $ \mathbb{Q}_p $ 上的非分裂代数。
• 符号代数 $ A = \left(\frac{\alpha,p}{K,\xi}\right) $（其中 $ K = \mathbb{Q}(\xi) $）在 $ K $ 上非分裂，此结论通过基域变换至 $ \mathbb{Q}_p $ 得到验证。
• $ \mathbb{Q}_p(\sqrt[n]{\alpha})/\mathbb{Q}_p $ 是次数为 $ n $ 的循环非分歧扩张，确保对 $ p $ 的范数准则不成立。
• 对所有 $ l \mid n $，$ \alpha $ 均非模 $ p $ 的 $ l $ 次幂剩余的条件至关重要，可防止多项式 $ Y^n - \alpha $ 在模 $ p $ 下可约，从而避免扩张次数降低。
• 该结果将 [Sa; 16] 中定理 3.2 从素数 $ n $ 推广至任意 $ n \geq 3 $，并修正了早期条件中的缺陷。
• 该构造产生了一类度数为 $ n $ 的非分裂符号代数，为 $ p $-进域与分圆域上的除法代数提供了新来源。