[论文解读] About the barotropic compressible quantum Navier-Stokes equations

Marguerite Gisclon, Ingrid Lacroix–Violet|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用 12

一句话总结

本文建立了具有密度依赖粘性系数和奇异冷压的可压缩量子Navier-Stokes方程弱解的全局存在性，且不依赖于缩放普朗克常数 $\varepsilon$ 的一致估计。证明了当 $\varepsilon \to 0$ 时解收敛到经典可压缩Navier-Stokes方程，消除了以往研究中在三维情形下对 $\gamma > 3$ 的限制性假设，并通过一种新颖的弱形式化方法结合冷压正则化，严格建立了渐近极限。

ABSTRACT

In this paper we consider the barotropic compressible quantum Navier-Stokes equations with a linear density dependent viscosity and its limit when the scaled Planck constant vanish. Following recent works on degenerate compressible Navier-Stokes equations, we prove the global existence of weak solutions by the use of a singular pressure close to vacuum. With such singular pressure, we can use the standard definition of global weak solutions which also allows to justify the limit when the scaled Planck constant denoted by $ε$ tends to 0.

研究动机与目标

• 建立具有线性密度依赖粘性系数和奇异冷压的压强可压缩量子Navier-Stokes方程弱解的全局存在性。
• 消除以往在三维情形下使用动量方程测试 $n\phi$ 时所需的限制性假设 $\gamma > 3$。
• 在缩放普朗克常数 $\varepsilon$ 上获得一致估计，以证明渐近极限 $\varepsilon \to 0$ 的合理性。
• 用一种更稳健的弱形式化方法替代基于 $n\phi$ 测试的标准弱形式化，该方法引入了冷压 $p_c(n)$。
• 严格地令 $\varepsilon \to 0$ 并证明解收敛到具有密度依赖粘性系数的经典可压缩Navier-Stokes方程。

提出的方法

• 引入奇异冷压 $p_c(n)$，定义为：当 $n \leq 1$ 时为 $c n^{-4k-1}$，当 $n > 1$ 时为 $n^{\gamma-1}$，其中 $k > 1$，以确保密度的正性并增强紧致性。
• 通过包含冷压并保留量子修正项 $-2\varepsilon^2 n \nabla(\Delta\sqrt{n}/\sqrt{n})$ 的正则化系统构造近似解。
• 利用Aubin-Simon引理由 $\sqrt{n_\tau}$ 和 $1/\sqrt{n_\tau}$ 分别导出在 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ 中的强收敛性与 a.e. 收敛性。
• 在 $\sqrt{n_\tau}$ 上建立 $L^2(0,T;H^1(\Omega))$ 上的一致有界性，并在 $\partial_t \sqrt{n_\tau}$ 上建立 $L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))$ 上的一致有界性，从而通过Aubin-Simon引理实现紧致性。
• 利用 $\sqrt{n_\tau} u_\tau$ 在 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ 中的强收敛性以及 $\nabla\sqrt{n_\tau}$ 的弱收敛性，在动量方程中取极限。
• 通过证明 $2\varepsilon^2 \int \sqrt{n} \nabla\sqrt{n} \cdot \nabla\phi \leq C\varepsilon^2 \to 0$ 对所有 $\varepsilon$ 一致成立，证明量子项在 $\varepsilon \to 0$ 时趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖三维情形下 $\gamma > 3$ 的条件下，构造出可压缩量子Navier-Stokes方程的全局弱解？
• RQ2 是否可以实现对缩放普朗克常数 $\varepsilon$ 的一致估计，以允许渐近极限 $\varepsilon \to 0$？
• RQ3 引入奇异冷压 $p_c(n)$ 是否能增强弱形式化中的更强紧致性与稳定性？
• RQ4 是否可以将基于 $n\phi$ 测试的标准弱形式化替换为一种避免依赖 $\varepsilon$ 的估计的更稳健形式化？
• RQ5 当 $\varepsilon \to 0$ 时，量子Navier-Stokes系统的极限是什么？其是否收敛到具有密度依赖粘性系数的经典可压缩Navier-Stokes方程？

主要发现

• 对于具有线性密度依赖粘性系数和冷压的压强可压缩量子Navier-Stokes方程，即使在三维情形下 $\gamma \leq 3$，其全局弱解也存在。
• 冷压 $p_c(n)$ 确保了密度的正性，并通过 $\sqrt{n_\tau}$ 和 $1/\sqrt{n_\tau}$ 的 $L^2$ 收敛性实现了强紧致性。
• 在 $\varepsilon$ 上获得了统一估计，使得在 $\varepsilon \to 0$ 时可不依赖于 $\varepsilon$ 敏感项而取极限。
• 量子修正项 $-2\varepsilon^2 n \nabla(\Delta\sqrt{n}/\sqrt{n})$ 在 $\varepsilon \to 0$ 时趋于零，原因在于其有界性为 $C\varepsilon^2$。
• 在 $\varepsilon \to 0$ 时，$\sqrt{n^\varepsilon} u^\varepsilon$ 在 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ 中实现强收敛，且 $p(n^\varepsilon), p_c(n^\varepsilon)$ 在 $L^1(0,T;L^1(\Omega))$ 中也实现收敛。
• 当 $\varepsilon \to 0$ 时，极限系统为具有密度依赖粘性系数的经典可压缩Navier-Stokes方程，证实了该量子模型在半经典极限下的物理一致性。