[论文解读] About the quantum mechanical speeding up of classical algorithms

Yuri Ozhigov|ArXiv.org|Jun 2, 1997

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了相对扩散变换（RDT），一种幺正量子操作，通过利用并行-串行处理，加速了在量子计算机上执行的经典计算。证明了任何在时间 T 和空间 S 内完成的经典一维细胞自动机计算，均可通过 √T 个大小为 O(S) 的量子设备，在 O(S√T) 时间内以确定性方式完成，通过量子并行性和基于预言机的子空间操控，实现了相对于经典方法的二次加速。

ABSTRACT

This work introduces a relative diffusion transformation (RDT) - a simple unitary transformation which acts in a subspace, localized by an oracle. Such a transformation can not be fulfilled on quantum Turing machines with this oracle in polynomial time in general case. It is proved, that every function computable in time T and space S on classical 1-dimensional cellular automaton, can be computed with certainty in time O(S \sqrt T) on quantum computer with RDTs over the parts of intermediate products of classical computation. This requires multiprocessor, which consists of \sqrt T quantum devices each of O(S) size, working in parallel-serial mode and interacting by classical lows.

研究动机与目标

• 探索量子力学是否能为经典算法提供一种系统性加速方法，超越已知的如 Shor 或 Grover 算法等特定情况。
• 解决标准量子图灵机在高效实现某些幺正变换方面的局限性，而这些变换是加速经典计算所必需的。
• 提出一种新颖的量子机制——相对扩散变换（RDT），可在子空间中实现受控的、基于预言机定位的幺正演化。
• 证明当在多处理器量子架构上实现时，RDT 能够为经典一维细胞自动机计算提供确定性的二次加速。

提出的方法

• 本文引入了相对扩散变换（RDT），一种作用于由预言机定义的子空间上的幺正操作，可在量子态中实现选择性振幅操控。
• RDT 设计用于作用于希尔伯特空间的一个子空间，该子空间由预言机定位，且无法在标准量子图灵机上以多项式时间高效实现。
• 该方法使用由 √T 个量子设备组成的多处理器量子架构，每个设备大小为 O(S)，以并行-串行模式运行，以模拟经典计算的中间步骤。
• 每个量子设备处理经典计算中间产物的一个片段，设备之间通过经典通信协调整体计算。
• 该变换利用量子并行性和干涉效应，加速原本受经典时间 T 限制的古典函数计算。
• 分析假设采用经典一维细胞自动机模型，其中每一步都是确定性和局部的，并通过使用 RDT 将其映射为量子线路，以减少总运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子力学能否为任意经典算法提供一种通用方法，实现超越因数分解或搜索等特定情况的加速？
• RQ2 为何标准量子图灵机模型在实现某些加速经典计算所必需的幺正变换方面存在不足？
• RQ3 能否构建一种相对扩散变换（RDT），使其作用于由预言机定义的子空间，并实现更快的计算？
• RQ4 实现经典一维细胞自动机的可证明加速所需的最小量子资源（以量子比特数和电路深度计）是多少？
• RQ5 如何利用多个小型量子设备之间的经典通信，来模拟具有更低时间复杂度的更大规模量子计算？

主要发现

• 本文证明，任何需要时间 T 和空间 S 的经典一维细胞自动机计算，均可通过在量子计算机上使用 RDT 在 O(S√T) 时间内以确定性方式模拟。
• 所需的量子架构由 √T 个量子设备组成，每个设备大小为 O(S)，以并行-串行模式运行，并通过经典通信连接。
• 该加速在经典时间 T 上达到二次加速，通过使用 RDT 在预言机定义的子空间内放大正确计算路径的振幅实现。
• RDT 变换无法在标准量子图灵机上以多项式时间实现，凸显了标准模型在该类问题上的局限性。
• 该结果建立了一类新的量子加速，其不基于 Grover 或 Shor 风格的算法，而是基于子空间中的结构化幺正变换。
• 该方法实现了确定性计算，具有确定性，与依赖于概率结果的振幅放大技术不同。