[论文解读] About the Schouten-Weyl tensor on 3-dimensional Lorenzian Lie groups

Олеся Павловна Хромова, P. N. Klepikov+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文研究了在左不变洛伦兹度量下三维李群上的Schouten–Weyl张量，重点关注张量平方长度为零（各向同性）或几乎调和（旋度与散度为零）的情形。通过在伪正交标架中进行显式计算，作者对满足Schouten–Weyl张量及其缩并具有调和性或各向同性的李代数和向量场进行了分类，得到了结构常数与向量分量之间的特定代数条件，主要结果集中在李代数$\mathcal{A}_1$、$\mathcal{A}_2$、$\mathcal{A}_3$和$\mathcal{A}_4$。该研究将先前对三维洛伦兹情形下调和Weyl张量的研究进行了扩展。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to investigate the Schouten-Weyl tensor on the three-dimensional Lie groups with left-invariant Lorenzian metrics. The left-invariant Lorentzian metrics on the three-dimensional Lie groups with squared length zero Schouten-Weyl tensor are studied. Moreover, the three-dimensional metric Lie groups with almost harmonic (i.e. with zero curl and divergence) Schouten-Weyl tensor are investigated. In addition, the question about the harmonicity of contraction of the Schouten-Weyl tensor is considered.

研究动机与目标

• 对具有左不变洛伦兹度量的三维度量李群进行分类，使得Schouten–Weyl张量为各向同性（平方长度为零）。
• 识别出Schouten–Weyl张量为几乎调和（即旋度与散度为零）的李群。
• 研究Schouten–Weyl张量与左不变向量场缩并后的调和性。
• 确定Schouten–Weyl张量与左不变向量场缩并后所得张量为调和的条件，使用旋度与散度算子。

提出的方法

• 本研究在单李群的伪正交标架场中进行，以结构常数和度量分量表达Schouten–Weyl张量。
• 通过$\|SW\|^2 = SW_{ijk}SW^{ijk}$计算Schouten–Weyl张量的平方长度，各向同性定义为$\|SW\|^2 = 0$且$SW \neq 0$。
• 利用张量分量的协变导数定义的旋度与散度算子，分析Schouten–Weyl张量及其缩并的调和性。
• 对于与左不变向量场$V^k$的缩并，构造张量$w_{ij} = V^k SW_{kij}$，并计算其旋度与散度以检验调和性。
• 通过求解来自$\mathrm{curl}(w) = 0$与$\mathrm{div}(w) = 0$的多项式方程组，以结构常数与向量场分量的形式寻找解。
• 通过求解$V^i_{,j} - V^j_{,i} = 0$与$V^i_{,i} = 0$识别调和向量场，这些方程简化为关于分量与结构常数的代数条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些具有左不变洛伦兹度量的三维单李群，Schouten–Weyl张量为各向同性？
• RQ2 哪些三维李群允许Schouten–Weyl张量为几乎调和（旋度与散度为零）？
• RQ3 在何种条件下，Schouten–Weyl张量与左不变向量场的缩并为调和？
• RQ4 哪些特定李代数（$\mathcal{A}_1$、$\mathcal{A}_2$、$\mathcal{A}_3$、$\mathcal{A}_4$）支持调和或各向同性的Schouten–Weyl张量？
• RQ5 结构常数与向量场分量之间存在何种显式代数关系，可使缩并结果为调和？

主要发现

• 在李代数$\mathcal{A}_1$中，当$V = (V^1, V^2, V^3)$，$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = 0$时，Schouten–Weyl张量的缩并为调和。
• 在$\mathcal{A}_1$中，存在第二种解：$V = (0, V^2, V^3)$，$\lambda_2 = \frac{(V^3)^2 - (V^2)^2}{2V^2V^3}$，且$\lambda_1$以$V^2$与$V^3$的函数$F$、$H$与$Q$表示的复根式表达，但需排除特定的$V^2/V^3$比值。
• 在$\mathcal{A}_1$中，解$V = (0, V^2, V^2)$，$\lambda_1 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$，$\lambda_2 = 0$也产生调和缩并。
• 解$V = (V^1, 0, 0)$，$\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 \neq 0$不产生调和缩并，因其不满足调和向量场条件。
• 在$\mathcal{A}_3$中，解$V = (0, -V^3, V^3)$，$\lambda = 0$产生Schouten–Weyl张量的调和缩并。
• 在$\mathcal{A}_3$中，第二种解存在：$V^1$与$V^2$表示为$V^3$与$\lambda$的有理函数，其中$\lambda \approx \pm 89.072$，但缩并不为调和，因其违反了调和向量场条件。